Retningsvektor

En vektor som er parallell med en rett linje kalles en retningsvektor til linja. Siden vektorene $s\overrightarrow{v}$ alle er parallelle med $\overrightarrow{v}$ (vi har bare forkortet, forlenget eller fått motsatt retning), vil en linje ha uendelig mange retningsvektorer. Det betyr at vi kun trenger å finne én retningsvektor, siden vi får alle de andre ved å multiplisere denne med passende tall.

For å finne en retningsvektor til en rett linje kan vi bruke stigningstallet til linja: En linje som er gitt ved likningen $y=ax+b$ har stigningstall $a$, som betyr at forskjellen i $y-$ verdiene til to punkter på linja er $a$ når forskjellen i $x-$verdiene til de samme punktene er $1$. Dermed er en naturlig retningsvektor til linja $y=ax+b$ gitt ved vektoren $\left[1,a\right]$.

Eksempel 1

En retningsvektor til linja $y=-x+84$ er $\left[1,-1\right]$. Alle vektorer $s\left[1,-1\right]$ er parallelle med linja.

Retningsvektorene kan brukes til å skrive en rett linje på vektorform.

 Her er en tegning som forklarer dette (prøv å forklare høyt for deg selv):

Eksempel 2

Linja gitt ved $y=-x+84$ har retningsvektor $\left[1,-1\right]$. Av punkter kan vi sette inn ulike verdier for $x$ og velge oss et punkt. Vi velger $\left(0,84\right)$, og får vektorformen $\left[x,y\right]=\left[0,84\right]+s\left[1,-1\right], s\in \mathrm{ℝ}$.

Når vi har skrevet en linje på vektorform får vi automatisk en såkalt parameterfremstilling av linja, der $s$ kalles en parameter. Vektorformen

$\left[x,y\right]=\left[x_0,y_0\right]+s\left[x_1,y_1\right]$

gir

$\left[x,y\right]=\left[x_0+s{x}_1,y_0+s{y}_1\right]$

ved vektoraddisjon og multiplikasjon med $s$. Dermed får vi linja gitt ved likningssystemet

$\left\{\begin{array}{c}x=x_0+s{x}_1\\ y=y_0+s{y}_1\end{array}\right.$

 som er det vi kaller en parameterfremstilling for linja.

Eksempel 3

Linja $y=-x+84$ kan skrives på vektorform som $\left[x,y\right]=\left[0,84\right]+s\left[1,-1\right]$, det vil si en mulig parameterfremstilling for linja er

$\left\{\begin{array}{c}x=s \\ y=84-s\end{array}\right.$

Hadde vi for eksempel valgt punktet $\left(1,83\right)$ isteden, hadde vi fått en mulig parameterfremstilling (vi kaller nå parameteren for $t$)

$\left\{\begin{array}{c}x=1+t \\ y=83-t\end{array}\right.$

Ved å sette inn ulike verdier for $s \mathrm{og} t$ (som jo kan være hva som helst), får vi de samme punktene, det vil si den samme linja. For eksempel gir $s=0$ punktet $\left(0,84\right)$, mens $t=-1$ også gir $\left(0,84\right)$.

Legg merke til at siden parameteren $s$ kan ta hvilken som helst verdi, har en linje uendelig mange parameterfremstillinger. Vi har her gitt en spesiell metode for å finne slike fremstillinger, ved å bruke retningsvektoren $\left[1,a\right]$ der $a$ er stigningstallet til linja.