Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Kryssprodukt av to vektorer

Kryssproduktet av to vektorer har som resultat en ny vektor og derfor kalles det også for vektorproduktet.

Kryssproduktet har flere anvendelser innen fysikken, blant annet i både klassisk mekanikk og elektromagnetisme.

KRYSSPRODUKTET

Kryssproduktet er bare definert for vektorer i 3. Kryssproduktet mellom to vektorer u=u1,u2,u3 og v=v1,v2,v3 er definert som

u×v=defu2v3-u3v2i+u3v1-u1v3j+u1v2-u2v1k

eller

u×v=ijku1u2u3v1v2v3=iu2u3v2v3-ju1u3v1v3+ku1u2v1v2

Vektoren u×v er ortogonal til både u og v. Vi kan derfor benytte vektorproduktet til å finne en ortogonal vektor til disse.

 

Eksempel 1

Gitt to vektorer i 3, u=1,0,-3 og v=4,0,2 skal vi finne vektoren u×v.

Vi setter opp vektorene i matrisen:

u×v=ijk103402=i0-302-j1-342+k1040

=i02--30-j12--34+k10-04

=0i-14j+0k=-14j=0,14,0


I eksemplet er i, j og k enhetsvektorer

Anvendelse av kryssprodukt

En av anvendelsene til kryssproduktet er å regne ut arealet til et parallellogram utspent av to (tredimensjonale vektorer).

Regel

Et parallellogram utspent av to vektorer u og v i 3har areal u×v.

Eksempel 2

Vi skal finne arealet av parallellogrammet utspent av vektorene u=3,1 og v=-1,5.

Kryssproduktet er bare definert for vektorer i 3 men vi kan tenke oss at disse vektorene ligger i xy-planet i 3, det vil si at z-komponenten er 0. Vi kan derfor skrive de som u=3,1,0 og v=-1,5,0.

A=u×v=ijk310-150=i1050-j30-10+k31-15

 =0i-0j+35-1-1k=16k=16

 

 

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten