Kort om matriser og determinanter

For å få en bedre forståelse av kryssproduktet, bør du kjenne til begrepene matriser og determinanter.

Matriser

Matriser er kort fortalt rektangulære oppstillinger av tall (eller andre elementer), eksempelvis en $2 \times 2 -$ matrise:

$A = (\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$

Matriser navngis gjerne med store bokstaver. Størrelsen til en matrise blir angitt ved hvor mange rader (horisontalt) og kolonner (vertikalt) den har.

Eksempel 1

En matrise med 3 rader og 3 kolonner:

$B = (\begin{matrix} 0 & 1 & 4 \\ 5 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

Vi sier derfor at $B$ er en $3 \times 3 -$ matrise. En matrise kan eksempelvis ha 2 rader og 3 kolonner eller 5 rader og 2 kolonner. Generelt har en $n \times m -$ matrise $n$ rader og $m$ kolonner.

Determinanter

For kvadratiske matriser (det vil si $n \times n -$ matriser) kan vi regne ut en nyttig tallverdi som kalles determinanten til matrisen. For determinanten til en kvadratisk matrise $A$ , skriver vi det $A eller |A| .$ Det enkleste eksempelet er en $2 \times 2 -$ matrise:

DETERMINANTEN TIL $2 \times 2 -$ MATRISE

For en $2 \times 2 -$ matrise $M = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ , definerer vi determinanten som

$\det M = |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| \overset{d e f}{=} a d - b c$

Eksempel 1

Determinanten til $A = (\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ er lik

$\det A = |\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix}| = 2 \cdot 1 - 5 \cdot (- 1) = 7$

DETERMINANTEN TIL $3 \times 3 -$ MATRISE

For en $3 \times 3 -$ matrise $M = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix})$ , definerer vi determinanten som

$|\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}| \overset{d e f}{=} a |\begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix}| - b |\begin{matrix} d & f \\ g & i \end{matrix}| + c |\begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix}| = a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)$

Kort om matriser og determinanter

Matriser

Eksempel 1

Determinanter

Eksempel 1

Lynkurs 11.-13.trinn

Vektorer

Består av: