Projeksjon

Eksempel 1

Tenk deg at du trekker et leketog etter en snor. Toget må følge et rettlinjet spor fra origo til punktet $\left(4,4\right)$, det beveger seg altså langs posisjonsvektoren $\overrightarrow{u}=\left[4,4\right]$. Kraften du trekker med, kan representeres som en vektor $\overrightarrow{F}$, men du holder snoren litt skeivt, slik at kraftvektoren ikke er helt parallell med togets bevegelse $\overrightarrow{u}$. Vi har $\overrightarrow{F}=\left[2,1\right]$. Vi er interessert i å vite hvor stort bidrag trekkraften din gir i togets retning.

Sett ovenfra: Leketoget må følge sporet (stiplet linje). Du trekker med en kraft F ⃗=[2,1]. Projeksjonen p ⃗ angir den delen (komponenten) av trekkraften som bidrar i togets retning.

For å finne dette bidraget skal vi finne projeksjonen av $\overrightarrow{F}$ langs $\overrightarrow{u}$. Det er en vektor som er parallell med $\overrightarrow{u}$.

Eksempel 1 fortsetter

Nå kan vi finne vektoren som beskriver bidraget fra trekkraften din i togets retning:

$\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{u}}{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}\overrightarrow{u}=\frac{\left[2,1\right]\cdot \left[4,4\right]}{\left[4,4\right]\cdot \left[4,4\right]}\left[4,4\right]=\frac{8+4}{16+16}\left[4,4\right]=\frac{12}{32}\left[4,4\right]=\left[\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$

Dette er komponenten av kraftvektoren som går i samme retning som toget.

Eksempel 2

Vi skal finne projeksjonen $\overrightarrow{p}$ av vektoren $\left[0,10\right]$ på vektoren $\left[2,4\right]$.

$\overrightarrow{p}=\frac{\left[0,10\right]\cdot \left[2,4\right]}{\left[2,4\right]\cdot \left[2,4\right]}\left[2,4\right]=\frac{0+40}{4+16}\left[2,4\right]=2\left[2,4\right]=\left[4,8\right]$ 

Eksempel 3

Vi skal finne projeksjonen av vektoren $\left[1,7,-3\right]$ på enhetsvektoren i $y-$retningen, $\overrightarrow{j}=\left[0,1,0\right]$.

$\overrightarrow{p}=\frac{\left[1,7,-3\right]\cdot \left[0,1,0\right]}{\left[0,1,0\right]\cdot \left[0,1,0\right]}\left[0,1,0\right]=\frac{0+7+0}{0+1+0}\left[0,1,0\right]=7\left[0,1,0\right]=\left[0,7,0\right]=7\overrightarrow{j}$

Vi fikk ut $y-$koordinaten til vektoren. Dette gjelder også generelt.

Eksempel 4

Vi skal finne projeksjonen av vektoren $\overrightarrow{u}=\left[-3,5,2\right]$ på vektoren $\overrightarrow{v}=\left[4,0,6\right]$.

$\overrightarrow{p}=\frac{\left[-3,5,2\right]\cdot \left[4,0,6\right]}{\left[4,0,6\right]\cdot \left[4,0,6\right]}\left[4,0,6\right]=\frac{-12+0+12}{16+0+36}\left[4,0,6\right]=0\left[4,0,6\right]=\overrightarrow{0}$

Overrasket? Projeksjonen er nullvektoren, fordi $\overrightarrow{u}$ ikke har noen komponent i retning $\overrightarrow{v}$. Og dette skyldes at vektorene $\overrightarrow{u} \mathrm{og} \overrightarrow{v}$ er ortogonale, det vil si de står vinkelrett på hverandre. Ettersom de er ortogonale, er prikkproduktet av de to vektorene 0, og projeksjonen er nullvektoren $\overrightarrow{0}$.