Arealsetningen

Arealet $A$ av en virkårlig gitt trekant finner vi ved å bruke formelen $$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ hvor $a$ er lengden til grunnlinjen i trekanten og $h$ er høyden. Nå skal vi se at for hver trekant hvor vi kjenner to av sidene og vinkelen mellom dem, kan vi gjøre et lite trigonometrisk triks slik at vi kan bruke formelen ovenfor.

La en vilkårlig trekant $ABC$ være gitt. Anta at vi vet lengden av sidene $AB$, $AC$ og vinkelen $\theta$ mellom dem. Vi kan trekke en rett linje ned på grunnlinjen:

Lengden av høyden $h$ i trekanten kan jeg finne ved hjelp av trigonometri. Vi kjenner vinkelen $\theta$, og nå har vi en rettvinklet trekant hvor høyden i den store trekanten er motstående katet. Vi vet at

$\sin \theta =\frac{\text{lengden av motstående katet}}{\text{lengden av hypotenus}}=\frac{h}{AC}.$

Dermed er $AC\cdot \sin \theta =h$. I formelen for arealet av en trekant kan vi da sette dette inn for høyden, og vi får det som er kjent som arealsetningen.

Eksempel

Vi finner arealet av en trekant hvor to av sidelengdene er $4$ og $2,8$ centimeter, og vinkelen mellom disse sidene er ${57}^{\circ }$. Arealsetningen gir oss at $$A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot (2,8)\cdot \sin {57}^{\circ }\approx 4,7{\text{cm}}^2.$$