Sinus, cosinus og tangens

De tre

er: , og tangens. Vi begynner med å betrakte en sirkel med radius $1$ og sentrum i origo:

Alle tall $\theta$ definerer en vinkel. Gitt et tall $\theta$ kan vi trekke linjen fra origo med vinkel $\theta$ med hensyn til den positive $x$-aksen. Denne linjen vil treffe et punkt $P$ på enhetssirkelen:

Vi kan da definere 

av tallet $\theta$ til å være $y$-koordinatet til dette punktet, mens  er definert til å være $x$-koordinatet. Det er vanlig å definere sinus og cosinus ved hjelp av rettvinklede trekanter, og vi kan få igjen den definisjonen på følgende måte: om jeg trekker en rett linje ned fra punktet vårt på enhetssirkelen til $x$-aksen får jeg en rettvinklet trekant.

 

Hypotenusen til denne trekanten har lengde $1$. Merk at lengden til hosliggende og motstående katet er respektivt $x$- og $y$-koordinatene til punktet $P$. Om vi nå definerer cosinus til å være lengden av hosliggende katet og sinus til å være lengden til motstående katet ser vi at dette samsvarer med definisjonen ovenfor. Merk at det følger fra definisjonen og Pytagoras læresetning at

$$(\sin \theta {)}^2+(\cos \theta {)}^2=1$$ for alle $\theta$.

Merk at om vi velger en annen radius og konstruerer trekanten på samme måte, får vi en trekant som er formlik med den originale trekanten, da vi kun har forandret lengden på sidene, ikke vinklene. Da kan vi for enhver trekant konstruert på denne måten definere $$\cos \theta =\frac{\text{lengde av hosliggende katet}}{\text{lengde av hypotenus}}$$ og $$\sin \theta =\frac{\text{lengde av motstående katet}}{\text{lengde av hypotenus}}.$$ Disse to funksjonene har definisjonsmengde lik $\mathrm{ℝ}=\left(-\infty ,\infty \right)$ og verdimengde $[-1,1]$.

Eksempel 1

Vi er gitt en rettvinklet trekant hvor lengden av hypotenusen er $x$ centimeter hvor en av vinkelene er ${30}^{\circ }$ og lengden på motstående katet er $20$ centimeter. Vi ønsker å finne lengden til hypotenusen. Per definisjon har vi $$\sin {30}^{\circ }=\frac{20}{x}.$$ Vi har at $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$, og dermed at $x=40$ centimeter.

Eksempel 2

Vi er gitt en rettvinklet trekant hvor en av vinklene er ${45}^{\circ }$, lengden på hypotenusen $13$ centimeter og vi ønsker å finne lengden av hosliggende katet. Om $x$ er lengden av hosliggende katet har vi at $$\cos {45}^{\circ }=\frac{x}{13}.$$ Da $\cos {45}^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$ har vi at $x=\frac{13}{\sqrt{2}}$ centimeter.

Vi definerer nå den siste av de tre grunnleggende trigonometriske funksjonene, tangens. Vi definerer $$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }.$$ Her må vi være forsiktige: hva om $\cos \theta$ er null? Vi må fjerne disse verdiene fra definisjonsmengden. Vi vet at cosinus er null for de vinklene som som korresponderer til punkt på formen $(0,y)$ på enhetssirkelen, det vil si 90 og 270 grader, og alle omløp av disse. I radianer betyr dette at vi fjerner alle tall på formen $$\frac{k\pi }{2}$$ hvor $k$ er et oddetall. Verdimengden er derimot alle reelle tall: når verdien av $\cos \theta$ blir mindre vil verden av $\tan \theta$ bli større.

Om vi ønsker et geometrisk bilde av tangens, kan vi konstruere en rettvinklet trekant som er formlik den originale trekanten vår:

La $x$ være lengden av motstående katet i den store trekanten. Da denne er formlik den lille trekanten, er $$\frac{x}{1}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\tan \theta .$$

Eksempel 3

Vi er gitt en rettvinklet trekant hvor en av vinklene er ${20}^{\circ }$, lengden til hosliggende katet er $5$ centimeter, og vi ønsker å finne lengden til de to andre sidene. Merk at tangens gir oss

$$\tan {20}^{\circ }=\frac{\sin {20}^{\circ }}{\cos {20}^{\circ }}=\frac{\frac{\text{lengde av motstående katet}}{\text{lengde av hypotenus}}}{\frac{\text{lengde av hosliggende katet}}{\text{lengde av hypotenus}}}=$$

$$=\frac{\text{lengde av motstående katet}}{\text{lengde av hosliggende katet}}=\frac{\text{lengde av motstående katet}}{5}$$

 

Vi har at $\tan {20}^{\circ }\approx 0,36$. Dermed er lengden av motstående katet omtrent $5\cdot 0,36=1,8$. Da kan vi finne lengden av hypotenusen $h$ ved hjelp av Pythagoras læresetning: $$h=\sqrt{5^2+(1,8{)}^2}\approx 5,31.$$