Mer kompliserte likninger

Når vi støter på trigonometriske likninger som er kompliserte, er strategien å redusere disse til en av grunnlikningene. La oss se på de vanligste teknikkene for å løse mer kompliserte trigonometriske likningene.

De trigonometriske grunnlikningene

La $a$ være et reelt tall.

Løsningene av $\sin (x) = a$ er på formen $\{\begin{matrix} x = & x_{0} + k \cdot 2 π \\ x = & (π - x_{0}) + k \cdot 2 π \end{matrix}$

der $k \in ℤ .$

Likningen $\cos (x) = a$ har løsningene $\{\begin{matrix} x = & x_{0} + k \cdot 2 π \\ x = & - x_{0} + k \cdot 2 π \end{matrix}$

der $k \in ℤ .$

Likningen $\tan (x) = a$ har løsningene $x = x_{0} + k \cdot π$ , der $k \in ℤ .$

I løsningsformlene over er $x_{0}$ en vilkårlig løsning av likningen. En slik kan man finne ved for eksempel å bruke kalkulator eller en

Eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens

$u$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$2 π$
$\sin (u)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$1$	$0$	$0$
$\cos (u)$	$1$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$	$1$
$\tan (u)$	$0$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	ikke def.	$0$	$0$

tabell over eksakte verdier

Omskriving til tangens

Følgende likninger kan løses ved omskriving til tangens:

$\begin{matrix} i) & a \sin (x) + b \cos (x) = 0 \end{matrix}$
$\begin{matrix} i i) & a \sin^{2} (x) + n \sin (x) \cos (x) + c \cos^{2} (x) = 0 \end{matrix}$

I den første dividerer vi med $\cos x$ på begge sider, og får $a \tan x + b = 0$ . Dette gir grunnlikningen $\tan x = - \frac{b}{a}$ .

I den andre dividerer vi med $\cos^{2} x$ og får en annengradslikning i tangens: $a \tan^{2} x + b \tan x + c = 0$ Denne løser vi med $a b c$ -formelen på vanlig måte. Hver av løsningene av annengradslikningen gir til slutt en grunnlikning i tangens.

Bruk av enhetsformelen før omskriving til tangens

Metoden over fungerer ikke uten videre dersom likningene har et tall forskjellig fra null på høyre side. Men i tilfelle ii) er det lett å kvitte seg med slike konstantledd. For å løse $a \sin^{2} x + b \sin x \cos x + c \cos^{2} x = d,$ bruker vi bare yndlingsformelen $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ til å skrive høyresiden som $d = d \sin^{2} x + d \cos^{2} x .$ Flytter vi begge de nye leddene over til venstre side, står vi igjen med $(a - d) \sin^{2} x + b \sin x \cos x + (c - d) \cos^{2} x = 0 .$

 Dermed er likningen på samme form som ii), og vi kan dividere med $\cos^{2} x$ og ende med en annengradslikning i tangens, akkurat som før.

Omskriving til standardform

Tilfelle i) krever litt mer jobb dersom det ikke står $0$ på høyre side:

$a \sin x + b \cos x = A \sin (x + φ)$ .

 En fin teknikk er å skrive om venstresiden til standardform, som vi skal studere nærmere i neste seksjon. Dette går ut på å finne konstanter $A$ og $φ$ slik at

$a \sin x + b \cos x = A \sin (x + φ)$ .

Den opprinnelige likningen blir dermed redusert til $A \sin (x + φ) = c$ , som kan løses som en grunnlikning. Hvis du blir forvirret av at argumentet til sinus er $x + φ$ i stedet for bare $x$ , kan du godt sette $u = x + φ$ og løse med hensyn på $u$ først. For eksempler se artikkelen Omskriving til standardform.

Annengradslikning i sinus eller cosinus

Hvis likningen inneholder $\sin^{2} x$ og/eller $\cos^{2} x$ , men ikke blandingsledd av typen $\sin x \cos x$ , er ideen som regel å lage en annengradslikning i enten $\sin x$ eller $\cos x$ . Nok en gang kan enhetsformelen være nyttig.

For eksempel, i likningen

$2 \sin^{2} x + 3 \cos x = 4$

skriver vi $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ og får

$2 (1 - \cos^{2} x) + 3 \cos x = 4$ .

 Etter litt opprydding gir dette annengradslikningen

$2 \cos^{2} x - 3 \cos x + 2 = 0,$

som vi løser ved $a b c$ -formelen. Resultatet blir de to grunnlikningene $\cos x = \frac{1}{2}$ og $\cos x = 1$ .

Mer kompliserte likninger

Eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens

Omskriving til tangens

Bruk av enhetsformelen før omskriving til tangens

Omskriving til standardform

Annengradslikning i sinus eller cosinus

Lynkurs 11.-13.trinn

Trigonometri

Består av: