Ubestemte integraler

Integrasjon er på mange måter det motsatte av derivasjon, men det er stort sett lettere å derivere en funksjon enn å integrere den. Et kjent sitat av den norske matematikeren Viggo Brun lyder: «Derivasjon er et håndverk, integrasjon er en kunst!»

MatRIC: Ubestemt integral

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder /

Definisjon. Ubestemt integral

La $f$ være en

Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon er en sammenhengende graf, det vil si at grafen danner en sammenhengende kurve.

kontinuerlig

funksjon. Dersom

F

er en funksjon slik at

F' (x) = f (x)

, kalles

F

en antiderivert funksjon av

f

Vi definerer det ubestemte integralet $\int_{}^{} f (x) dx$ til å være en generell antiderivert av $f$ . Dette kan vi skrive som

$\int_{}^{} f (x) dx = F (x) + C,$

der $C$ er en konstant, og $F$ er en antiderivert funksjon av $f$ . Å finne ubestemte integraler kalles integrasjon, eller antiderivasjon.

Tallet $C$ i definisjonen over fortjener en kommentar. Fordi den deriverte av en konstant er null, blir $(F (x) + C)' = F (x) = f (x)$ uansett hva $C$ er. To antideriverte til $f$ vil aldri skille seg fra hverandre med mer enn en konstant. Derfor sier vi at $F (x) + C$ er en generell antiderivert.

Eksempel 1

Oppgave. Finn det ubestemte integralet $\int_{}^{} 3 x^{2} dx$ .

Løsning. Vi vet at $(x^{3})' = 3 x^{2}$ . Dette betyr at $F (x) = x^{3}$ er en antiderivert til $f (x) = 3 x^{2}$ . Det ubestemte integralet blir dermed

$\int_{}^{} 3 x^{2} dx = x^{3} + C$ .

Eksempel 2

Oppgave. Finn det ubestemte integralet $\int_{}^{} (\sin x + x) dx$ .

Løsning. Vi antideriverer hvert ledd for seg. Vi ser først (etter å ha tenkt oss litt om) at en antiderivert av sin $x$ er $- \cos x$ . Kontroll: $(- \cos x)' = (- \sin x) = \sin x$ .

For å finne en antiderivert til $x$ , kan vi bruke derivasjonsregelen $(x^{2})' = 2 x$ . Ved
å dele på 2 får vi at $(\frac{1}{2} x^{2})' = x$ , det vil si at en antiderivert av $x$ er $\frac{1}{2} x^{2}$ .

Når vi setter dette sammen, ser vi at en antiderivert til $f (x) = \sin x + x$ er $F (x) = - \cos x + \frac{1}{2} x^{2}$ . Det ubestemte integralet blir derfor

$\int_{}^{} (\sin x + x) dx = - \cos x + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Integrasjonsregler

Ved å tenke «omvendt derivasjon», som i eksemplene over, kan vi enkelt lage mange fine integrasjonsformler. I teoremet under har vi listet opp de mest brukte. Hver av disse formlene er funnet ved å «snu» en av derivasjonsreglene som er beskrevet i lynkurset Derivasjon (se også i høyrespalten). Selv om integrasjonsreglene kommer gratis dersom du kan de tilsvarende derivasjonsreglene, vil du spare mye tid på å kunne dem utenat. Merk at reglene 1, 2 og 3 alle er spesialtilfeller av regel 4.

Teorem. Integrasjonsregler

Spesielle regler

La $a$ være en konstant. Da gjelder:

$\int_{}^{} a dx = a x + C$
$\int_{}^{} x dx = \frac{1}{2} x^{2} + C$
$\int_{}^{} \sqrt{x} dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$
$\int_{}^{} x^{a} dx = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1} + C$ , hvis $a \neq - 1$
$\int_{}^{} \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
$\int_{}^{} e^{x} dx = e^{x} + C$
$\int_{}^{} a^{x} dx = \frac{1}{\ln a} a^{x} + C$ , hvis $a > 0$
$\int_{}^{} \sin x dx = - \cos x + C$
$\int_{}^{} \cos x dx = \sin x + C$
$\int_{}^{} \frac{1}{\cos^{2} x} dx = \tan x + C$

Generelle regler

Hvis $f$ og $g$ er

Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon er en sammenhengende graf, det vil si at grafen danner en sammenhengende kurve.

kontinuerlige

funksjoner, og

a

er et tall, gjelder:

$\int_{}^{} a \cdot f (x) dx = a \int_{}^{} f (x) dx$
$\int_{}^{} [f (x) + g (x)] dx = \int_{}^{} f (x) dx + \int_{}^{} g (x) dx$
$\int_{}^{} [f (x) - g (x)] dx = \int_{}^{} f (x) dx - \int_{}^{} g (x) dx$

Dette kan være mange regler å huske i begynnelsen, så man må gjøre en del integrasjoner for å få det til å sitte. Det som er viktig å ta med fra teoremet over er at de generelle reglene forteller oss hvordan vi kan integrere funksjoner som er satt sammen av enklere deler, og de spesielle reglene lar oss integrere direkte en del "enkle" funksjoner. Sammen kan de to regelsettene la oss integrere mer kompliserte funksjoner, så lenge de er satt sammen av byggesteinene vi har over.

Eksempel 3

Oppgave. Finn integralet $\int_{}^{} \frac{4}{x^{3}} - 2 \cdot 3^{x} dx$ .

Løsning. Ved å bruke regnereglene over får vi at

$\int_{}^{} \frac{4}{x^{3}} - 2 \cdot 3^{x} dx = 4 \int_{}^{} x^{- 3} dx - 2 \int_{}^{} 3^{x} dx = - 2 x^{- 2} - \frac{2}{\ln 3} 3^{x} + C$ .

Her brukte vi de generelle reglene i første likhet, og de spesielle i andre.

Del på Facebook

Del på Facebook

Lynkurs 11.-13.trinn

Integrasjon

Består av:

Se

Derivasjonsregler