Integraler som kan løses ved delvis integrasjon

Når integranden er et produkt av to faktorer der den ene blir enklere ved derivasjon og den andre ikke blir mye mer komplisert ved integrasjon, kan man prøve delvis integrasjon. Hvis $P\left(x\right)$ er et polynom kan noen typiske eksempler være:

• ${\int }_{}^{}P\left(x\right)\cdot \sin x\mathrm{dx}$. Sett $u=P\left(x\right)$ og $v\text{'}=\sin x$.
• ${\int }_{}^{}P\left(x\right)\cdot \cos x\mathrm{dx}$. Sett $u=P\left(x\right)$ og $v\text{'}=\cos x$.
• ${\int }_{}^{}P\left(x\right)\cdot e^x\mathrm{dx}$. Sett $u=P\left(x\right)$ og $v\text{'}=e^x$.
• ${\int }_{}^{}P\left(x\right)\cdot \ln x\mathrm{dx}$. Sett $u=\ln x$ og $v\text{'}=P\left(x\right)$.

I de tre første tilfellene over blir $P\left(x\right)$ forenklet ved derivasjon, mens den andre faktoren ikke blir mer komplisert ved integrasjon. I det siste eksempelet kvitter vi oss med $\ln x$ ved å derivere. $P\left(x\right)$ blir litt mer komplisert ved integrasjon, men ikke verre enn at vi kan håndtere det.

Prøv gjerne selv å regne over noen eksempler som de vi har over. Du kan for eksempel sette $P\left(x\right)=x$. Å kontrollere svaret er lett: Da må du bare derivere det du fikk og sjekke at det blir det du startet med.

Eksempel 1

Oppgave. Finn en antiderivert til funksjonen $h\left(x\right)=\left(x^2-2x\right)\ln x$.

Løsning. Vi beregner det ubestemte integralet ${\int }_{}^{}h\left(x\right)\mathrm{dx}$ ved delvis integrasjon. Her lønner det seg å bytte rekkefølge på faktorene og sette $u=\ln x$ og $v\prime =x^2-2x$. Vi får da:

Funksjonen $H\left(x\right)=\ln x\cdot (\frac{1}{3}{x}^3-x^2)-\frac{1}{9}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2$ er derfor en antiderivert til $h\left(x\right)$.

Eksempel 2

Noen ganger må vi bruke delvis integrasjon flere ganger for å regne ut et integral.

Oppgave. Beregn ${\int }_{}^{}\frac{1}{2}{x}^2{e}^x\mathrm{dx}$.

Løsning. Vi setter $u=\frac{1}{2}{x}^2$ og $v\text{'}=e^x$. Da er $u\prime =x$, og $v=e^x$. Dermed får vi at

${\int }_{}^{}\frac{1}{2}{x}^2{e}^x\mathrm{dx}=\frac{1}{2}{x}^2{e}^x-{\int }_{}^{}x{e}^x\mathrm{dx}$.

For å løse det siste integralet bruker vi delvis integrasjon igjen. Denne gangen setter vi $u=x$, og $v\prime =e^x$. Da blir $u\prime =1$, og $v=e^x$, slik at

${\int }_{}^{}x{e}^x\mathrm{dx}=x{e}^x-{\int }_{}^{}1e^x\mathrm{dx}=x{e}^x-e^x+C$.

Når vi setter inn dette får vi svaret:

${\int }_{}^{}\frac{1}{2}{x}^2{e}^x\mathrm{dx}=\frac{1}{2}{x}^2{e}^x-x{e}^x+e^x+C$.