Integrasjon av rasjonale uttrykk

Det siste vi skal se på i dette lynkurset er integrasjon av rasjonale uttrykk.

Regel. Integrasjon av rasjonale uttrykk

La $I (x) = \int_{}^{} \frac{P (x)}{Q (x)} dx$ , der $P (x)$ og $Q (x)$ er

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Q (x) \neq 0

Dersom graden til $P (x)$ er mindre enn graden til $Q (x)$ , regner vi ut $I (x)$ ved først å finne delbrøkoppspaltingen til integranden og så integrere leddene hver for seg.
Dersom graden til $P (x)$ er større eller lik graden til $Q (x)$ , må vi først utføre polynomdivisjonen $P (x) : Q (x)$ . Hvis det blir et restledd finner vi delbrøkoppspaltingen til dette. Til slutt integrerer vi leddvis.

Hvis det som står over om delbrøkoppspalting og polynomdivisjon virker helt ukjent, kan det være lurt å se på kurset i polynomdivisjon før du fortsetter. De to regneteknikkene er viktige byggesteiner for oss her. Merk at regelen ikke er så komplisert som den ser ut til: Alt avhenger av graden til de to polynomene i uttrykket.

Vi trenger også følgende regneregler, som ikke er så vanskelige å bevise.

Teorem.

For alle tall $a$ og heltall $r \geq 2$ gjelder:

$\int_{}^{} \frac{1}{x - a} dx = \ln |x - a| + C$
$\int_{}^{} \frac{1}{{(x - a)}^{r}} dx = \frac{- 1}{(r - 1) {(x - a)}^{r - 1}} + C$

Prøv gjerne å bevise teoremet selv: Begge følger ved substitusjonen $u = x - a$ (se seksjonen om substitusjon).

Eksempel

Oppgave. Finn det ubestemte integralet $\int_{}^{} \frac{1}{(x - 1) x} dx$ .

Løsning. Vi utfører delbrøkoppspaltingen og finner at

$\frac{1}{(x - 1) x} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}$ .

Nå bruker vi regnereglene fra teoremet over, og får da svaret:

$\int_{}^{} \frac{1}{(x - 1) x} dx = \int_{}^{} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}) dx = \ln |x - 1| - \ln |x| + C = \ln |\frac{x - 1}{x}| + C$ .

Integrasjon av rasjonale uttrykk

Polynom

Eksempel

Lynkurs 11.-13.trinn

Integrasjon

Består av: