Flere eksempler på substitusjon

Du vil kanskje stusse over at vi skriver «vi prøver substitusjonen ...» og lignende formuleringer. Dette er et bevisst ordvalg, for å understreke at det ikke finnes noen faste oppskrifter på hvordan man regner ut et gitt integral. Mange ubestemte integraler lar seg ikke regne ut i det hele tatt!

Moralen blir som følger: Dersom vi synes at et integral «lukter» substitusjon, prøver vi med den mest naturlige kjernen, og regner i vei. Kjører vi oss fast, må vi gå tilbake til start og prøve noe nytt. Det samme gjelder for delvis integrasjon, som vi alt har sett på.

Eksempel 1

Oppgave. Finn det ubestemte integralet ${\int }_{}^{}\frac{1}{x\ln x}\mathrm{dx}$.

Løsning. Her er det kanskje ikke umiddelbart opplagt hva vi bør velge som kjerne. Legg merke til at integranden $\frac{1}{x\ln x}$  kan skrives som $\frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}$. Hvis vi nå husker at $(\ln x)\prime =\frac{1}{x}$ , ser vi at substitusjonen $u=\ln x$ virker lovende. Vi får da at $\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}$=$\frac{1}{x}$, og da er $\mathrm{du}=\frac{1}{x}\mathrm{dx}$. Da kan vi regne ut integralet, og får at

${\int }_{}^{}\frac{1}{x\ln x}\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\frac{1}{u}\mathrm{du}=\ln \left|u\right|+C=\ln \left|\ln x\right|+C$.

Eksempel 2

Oppgave. Finn det ubestemte integralet ${\int }_{}^{}{e}^{\sqrt{x}}\mathrm{dx}$.

Løsning. Her virker det kanskje rart å prøve med substitusjon. Den eneste fornuftige kjernen å snakke om, er $u=\sqrt{x}$, men den deriverte $\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ er jo ikke noen faktor i integranden.

Vi kan imidlertid gjøre et lite triks. Hvis $u=\sqrt{x}$, kan vi nemlig sette

$\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2u}$,

og dette vil vise seg å gi svaret. Ved å skrive om uttrykket ser vi at $\mathrm{dx}=2u\mathrm{du}$, og da får vi at

${\int }_{}^{}{e}^{\sqrt{x}}\mathrm{dx}={\int }_{}^{}{e}^u\cdot 2u\mathrm{du}$.

Ved første øyekast ser dette kanskje ikke ut til å hjelpe. Men integralet til høyre er lett å håndtere med delvis integrasjon! Vi har at

${\int }_{}^{}2u{e}^u\mathrm{du}=2u{e}^u-2e^u+C$,

og når vi setter inn  $u=\sqrt{x}$ får vi det endelige svaret:

${\int }_{}^{}{e}^{\sqrt{x}}\mathrm{dx}=2\sqrt{x}{e}^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+C$.