Integrasjon ved substitusjon

Beviset er mest for spesielt interesserte og plassert nederst i artikkelen.

Dette kan se litt lite leselig ut ved første øyekast, så vi bruker teoremet på et eksempel.

Eksempel

Oppgave. Finn det ubestemte integralet ${\int }_{}^{}\cos \left(x^2-1\right)\cdot 2x \mathrm{dx}$.
Bevis. Her ser vi at cosinusfunksjonen i integranden har en kjerne, nemlig $x^2-1$. Det er et tegn på at vi bør prøve substitusjon, med $u\left(x\right)=x^2-1$. Da blir $u^{\prime }\left(x\right)=2x$, og vi får følgende utregning:

${\int }_{}^{}\cos \left(x^2-1\right)\cdot 2x \mathrm{dx}={\int }_{}^{}\cos \left(u\left(x\right)\right)\cdot u\text{'}\left(x\right) \mathrm{dx}\stackrel{*}{=}{\int }_{}^{}\cos \left(u\right)\mathrm{du}=\sin \left(u\right)+C$.

I overgangen merket * brukte vi teoremet. Til slutt må vi huske å sette inn $u=u\left(x\right)=x^2-1$ i svaret. Resultatet av integrasjonen blir da at

${\int }_{}^{}\cos \left(x^2-1\right)\cdot 2x \mathrm{dx}=\sin \left(x^2-1\right)+C$.

Vi kom i mål, men det er fort litt tungvint å skrive og føre når man bruker en "omvendt kjerneregel" på denne måten. I stedet er det vanlig å føre substitusjon litt annerledes, for å gjøre det lettere å holde styr på ting.

I den alternative føringen bruker vi notasjonen $\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}$ om den deriverte:

$u\text{'}\left(x\right)=\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}$.

Ganger vi opp med $\mathrm{dx}$ her, får vi at


$u\text{'}\left(x\right)\mathrm{dx}=\mathrm{du}$.

Hvis du ser nøye etter i teoremet, ser du at det er akkurat denne utskiftingen som har skjedd: Vi bytter ut $u\text{'}\left(x\right)\mathrm{dx}$ med $\mathrm{du}$, og skriver $u$ i stedet for $u\left(x\right)\mathrm{.}$

Basert på dette, fører vi utregningen av integralet i eksempelet over slik:

• Sett $x^2-1$ til å være kjernen: $u\left(x\right)=x^2-1$
• Deriver: $\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=2x$
• Gang med $\mathrm{dx}$: $\mathrm{du}=2x\mathrm{dx}$

Nå kan vi sette inn dette i integrasjonen og regne ut:

${\int }_{}^{}\cos \left(x^2-1\right)\cdot 2x \mathrm{dx}={\int }_{}^{}\cos \left(u\right)\mathrm{du}=\sin \left(u\right)+C=\sin \left(x^2-1\right)+C$.

Som vi ser, kan substitusjonsmetoden forvandle et komplisert integral til et som er mye lettere ved et enkelt håndgrep. Av den grunn gir substitusjon ofte svært pene og tilfredsstillende utregninger!

Bevis for teoremet

Vi deriverer uttrykkene på begge sider av likhetstegnet. Dersom vi får samme svar, er de to ubestemte integralene like. Den deriverte av venstresiden er lett – den blir $f\left(u\right(x\left)\right)\cdot u^{\prime }\left(x\right)$.
På høyresiden må vi være mer forsiktige, siden vi skal derivere med hensyn på $x$, mens integrasjonsvariabelen er $u$. La $F$ være en antiderivert til $f$. Da er

${\int }_{}^{}f\left(u\right)\mathrm{du}=F\left(u\right)+C$


Når vi setter inn $u=u\left(x\right)$, blir høyresiden i uttrykket i teoremet lik $F\left(u\right(x\left)\right)+C$. Dette
deriverer vi nå med hensyn på $x$ved å bruke kjerneregelen. Da får vi

$\left[F\left(u\left(x\right)\right)+C\right]\text{'}=F\text{'}\left(u\left(x\right)\right)\cdot u\text{'}\left(x\right)=f\left(u\left(x\right)\right)\cdot u\text{'}\left(x\right)$.

Vi fikk samme svar, og teoremet er dermed bevist.