Flere eksempler på integrasjon av rasjonale uttrykk

Eksempel 1

Sørg for å huske hvordan du gjør delbrøkoppspalting før du prøver å løse dette.

Oppgave. Regn ut ${\int }_{}^{}\frac{7x-3}{{\left(x-3\right)}^2\left(x+5\right)}\mathrm{dx}$. 

Løsning. Ved delbrøkoppspalting finner vi konstanter $A$, $B$ og $C$ slik at

$\frac{7x-3}{{\left(x-3\right)}^2\left(x+5\right)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{{\left(x-3\right)}^2}+\frac{C}{x+5}$

Dette gir opphav til et likningssystem der $A$, $B$ og $C$ er de ukjente. Løser vi dette på vanlig måte, finner vi at $A=\frac{1}{2}$, $B=3$ og $C=-\frac{1}{2}$. Kombinert med teoremet i forrige seksjon får vi fra dette at

${\int }_{}^{}\frac{7x-3}{{\left(x-3\right)}^2\left(x+5\right)}\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\left(\frac{\frac{1}{2}}{x-3}+\frac{3}{{\left(x-3\right)}^2}-\frac{\frac{1}{2}}{x+5}\right)\mathrm{dx}$, så

${\int }_{}^{}\frac{7x-3}{{\left(x-3\right)}^2\left(x+5\right)}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}\ln \left|x-3\right|-\frac{3}{x-3}-\frac{1}{2}\ln \left|x+5\right|+C$,

og med litt opprydding får vi det endelige svaret

${\int }_{}^{}\frac{7x-3}{{\left(x-3\right)}^2\left(x+5\right)}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-3}{x+5}\right|-\frac{3}{x-3}+C$.

Eksempel 2

Til slutt gjør vi et eksempel der graden i telleren er større enn graden i nevneren. Da må vi bruke polynomdivisjon for å gjøre graden i telleren mindre enn graden i nevneren. Etter at vi har gjort dette, er resten av regningen som før.

Oppgave.Finn integralet $\int \frac{x^3-2x^2-1}{x^2-1}\mathrm{dx}$.

Løsning. Her har telleren grad 3, mens nevneren har grad 2. Da er det bare å sette i gang med polynomdivisjon. Vi finner:

Resultatet av divisjonen ble altså $x-2$, med en rest på $x-3$. Dette betyr at

$\frac{x^3-2x^2-1}{x^2-1}=x-2+\frac{x-3}{x^2-1},$

slik at

$\left(1\right) {\int }_{}^{}\frac{x^3-2x^2-1}{x^2-1}\mathrm{dx}={\int }_{}^{}\left(x-2+\frac{x-3}{x^2-1}\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{2}{x}^2-2x+{\int }_{}^{}\frac{x-3}{x^2-1}\mathrm{dx}$.

Det siste integralet løser vi ved delbrøkoppspating som i de to foregående eksemplene. Ved konjugatsetningen er $x^2-1=(x+1)(x-1)$, og vi finner på vanlig måte oppspaltingen $\frac{x-3}{(x+1)(x-1)}=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}$. Dermed er

${\int }_{}^{}\frac{x-3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\mathrm{dx}=2\ln \left|x+1\right|-\ln \left|x-1\right|+C=\ln \left|\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x-1}\right|+C$.

Til slutt setter vi dette inn i likningen vi merket med (1) og får det endelige resultatet:

${\int }_{}^{}\frac{x^3-2x^2-1}{x^2-1}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}{x}^2-2x+\ln \left|\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x-1}\right|+C$.