Delvis integrasjon

For å finne ut av det må vi huske hva vi gjorde da vi fant integrasjonsregler for en del konkrete funksjoner: Vi brukte derivasjonsteknikker "baklengs." Hvis vi skal snakke om integrasjon av produkter bør vi da tenke på produktregelen for derivasjon. Vi minner om at dersom $u\left(x\right)$ og $v\left(x\right)$ er deriverbare funksjoner, så er

$\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]\text{'}=u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v\text{'}\left(x\right)$.

Nå integrerer vi begge sider av denne likningen. Da får vi (ved å bruke generell regel 2 fra teoremet i seksjonen "Ubestemte integraler") at

${\int }_{}^{}\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]\text{'} \mathrm{dx}={\int }_{}^{}u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{dx}+{\int }_{}^{}u\left(x\right)v\text{'}\left(x\right)\mathrm{dx}$.

Det som står på venstresiden her er $u\left(x\right)v\left(x\right)$, fordi integrasjon og derivasjon opphever hverandre. Dermed har vi fått

$u\left(x\right)v\left(x\right)={\int }_{}^{}u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{dx}+{\int }_{}^{}u\left(x\right)v\text{'}\left(x\right)\mathrm{dx}$

Vi har bevist formelen for delvis integrasjon. Det er vanlig å stokke den om litt, så vi skriver teoremet slik: 

Det viser seg (selv om man kanskje ikke skulle tro det) at formelen over forenkler mange vanskelige integraler – men ikke alle! Det finnes dessverre ingen regel som forteller akkurat når det lønner seg å bruke delvis integrasjon. Og for å gjøre ting enda verre: I de tilfellene der delvis integrasjon fungerer, er det ikke alltid opplagt hvilken faktor som bør være $u\left(x\right)$ og hvilken som bør være $v\prime \left(x\right)$.

Vi vil øve oss litt, så i neste seksjon skal vi se på noen eksempler på bruk av delvis integrasjon.