Derivasjonsregler

Hittil har vi sett på definisjonen av den deriverte, men det er både upraktisk og slitsomt å måtte regne ut den deriverte direkte via definisjonen for alle funksjoner. Derfor har vi en rekke derivasjonsregler som vi bruker til vanlig.

Spesielle regler

La a og b være konstanter. Da gjelder:

$f (x) = b \Rightarrow f^{'} (x) = 0$
$f (x) = a x + b \Rightarrow f^{'} (x) = a$
$f (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$
$f (x) = \sqrt{x} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
$f (x) = x^{b} \Rightarrow f^{'} (x) = b x^{b - 1}$
$f (x) = \ln (x) \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{x}$
$f (x) = e^{x} \Rightarrow f^{'} (x) = e^{x}$
$f (x) = a^{x} \Rightarrow f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)$
$f (x) = \sin (x) \Rightarrow f^{'} (x) = \cos (x)$
$f (x) = \cos (x) \Rightarrow f^{'} (x) = - \sin (x)$
$f (x) = \tan (x) \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x} = \tan^{2} x + 1$

Generelle regler

La u og v være deriverbare funksjoner, og k en konstant. Da gjelder:

12. ${(k \cdot u)}^{'} = k \cdot u^{'}$ (multiplikasjon med en konstant)

13. ${(u + v)}^{'} = u^{'} + v^{'}$ (addisjonsregelen)

14. ${(u - v)}^{'} = u^{'} - v^{'}$ (subtraksjonsregelen)

15. ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ (produktregelen)

16. ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$ (brøkregelen)

MatRIC: Derivasjonsregler

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Eksempel på utledning av regler

MatRIC: Utledning av derivasjonsregler

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Vi skal ikke utlede alle reglene over, men inkluderer utledningen av $[a x + b]'$ og $(\frac{1}{x})'$ som eksempeler på hvordan det gjøres.

Utledning av regel 2:

Vi utleder formelen generelt for a og b, det vil si at a og b kan være hvilke som helst konstanter.

$[a x + b]' =$	$\lim_{h \to 0} \frac{(a (x + h) + b) - (a x + b)}{h} =$
	$\lim_{h \to 0} \frac{a x + a h + b - a x - b}{h} =$
	$\lim_{h \to 0} \frac{a h}{h} =$
	$\lim_{h \to 0} a = a$

Der vi har brukt at hvis $f (x) = a x + b$ , så er $f (x + h) = a (x + h) + b$ .

Utledning av regel 3:

Per definisjon av den deriverte, er

(\frac{1}{x}) ´ = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}

Dette er et $\frac{0}{0}$ -uttrykk, så vi må omforme uttrykket før vi kan sette inn. Siden uttrykket inneholder en brudden brøk, starter vi med å kvitte oss med den:

\lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}) \cdot x (x + h)}{h \cdot x (x + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x + h)}{h \cdot x (x + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{- h}{h \cdot x (x + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)} .

Dette uttrykket er ikke lenger på formen $\frac{0}{0}$ , så vi kan finne grenseverdien ved å sette inn $h = 0$ . Den deriverte blir:

(\frac{1}{x}) ´ = \lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)} = \frac{- 1}{x (x + 0)} = - \frac{1}{x^{2}}

Del på Facebook

Del på Facebook