Uordnede utvalg uten tilbakelegging

Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i ikke er viktig, sier vi at dette er et uordnet utvalg. Dersom vi ikke legger tilbake gjenstanden før neste trekk, har vi et uordnet utvalg uten tilbakelegging. For uordnede utvalg uten tilbakelegging gjelder følgende regel:

Uttrykket $\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)$ kalles for en binomialkoeffisient. Den er lik

 $\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)=\frac{n\cdot (n-1)\cdot \cdot \cdot (n-m+1)}{m\cdot (m-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 

hvor $n!=n\cdot (n-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1$.

La oss se på et par eksempler.

Tillitsvalgte

Blant de 15 elevene i klasse C skal det velges to tillitsvalgte. Hvor mange mulige kombinasjoner av tillitsvalgte finnes?

Vi skal trekke to elever fra en gruppe på 15 elever. Vi er ikke opptatt av rekkefølgen. Siden hver elev kun kan trekkes én gang, er dette et uordnet utvalg uten tilbakelegging med $n=15$ og $m=2$.

Antall mulige par er

 $\left(\begin{array}{c}15\\ 2\end{array}\right)=\frac{15\cdot 14}{2}=105$.

Trening

Siri er statistiker, og har tenkt å lage en treningsplan ved tilfeldig utvalg av treningsdager. Hun vil trene fire dager i uka. Hva er sannsynligheten for at Siri trener på mandager?

Antall ulike kombinasjoner av treningdager er

 $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=35$.

Hvis hun trener på mandager, må hun trene tre ganger resten av uka, altså 3 av 6 dager. Antall kombinasjoner som inkluderer mandag er

 $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=20$.

Sannsynligheten for at Siri trener på mandager blir dermed antall måter å trene på mandager dividert med antallet måter det er mulig å legge opp treningsplanen.

 $\frac{20}{35}\approx 0,57$.

Det er 57% sannsynlighet for at Siri trener på mandager.