Ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller

Ikke-uniform sannsynlighet betyr at alle utfallene i utfallsrommet ikke har like stor sannsynlighet for å inntreffe. Denne typen sannsynlighetsmodeller er sannsynlighetsmodeller med ujevne sannsynlighetsfordelinger.

På denne siden skal vi se to eksempler på ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller, og vi starter med den enkleste.

IQ

I et samfunn er det ca. 85% sannsynlighet for at en tilfeldig valgt person har IQ mellom 80 og 125. Det er også kjent at sannsynligheten er dobbel så stor for at en person har lavere IQ enn 80 enn at hun har en høyere IQ enn 125. Finn sannsynligheten for at hennes IQ er lavere enn 80 og sannsynligheten for at den er høyere enn 125.

Vi har delt inn IQ i tre kategorier: IQ lavere enn 80, IQ mellom 80 og 125 og IQ høyere enn 125. Vi kaller begivenhetene for henholdsvis A, B og C. Vi vet at $P\left(B\right)=0,85$ og $P\left(A\right)=2\cdot P\left(C\right)$.

Siden sannsynlighetene ikke er like, er ikke denne modellen uniform. Husk at summen av sannsynlighetene for alle utfall i utfallsrommet alltid må være lik 1. Dette betyr at

 $P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)=1$.

Vi lar $P\left(C\right)=p$ og $P\left(A\right)=2p$. Nå har vi at

 $2p+0,85+p=1$. 

Vi løser likningen og får at $p=5\%$, og da er

 $P\left(C\right)=5\%$ og $P\left(A\right)=10\%\mathrm{.}$

Så sannsynligheten er 10% for at en tilfeldig valgt person har en IQ lavere enn 80 og 5% for at den er høyere enn 125.

Om bilseter

Kari, Lars og Mari skal bli med mor på biltur, men så er de ikke enige om hvem som skal sitte hvor. De blir enige om å kaste to mynter for å avgjøre: Kari får sitte foran hvis det blir to kron, Lars får sitte foran hvis det blir to mynt, og Mari får sitte foran hvis det blir én kron og én mynt. Er dette en rettferdig måte å fordele setene på?

De to myntene er uavhengige av hverandre, så vi kan tegne opp mulige utfall i en tabell:

Her ser vi med en gang at det ikke blir rettferdig. Det er to måter å få mynt og kron på mot bare én måte å få dobbel mynt eller dobbel kron. Vi kan da skrive opp sannsynligheten for at hver av dem får sitte først:

 $$\begin{gathered} P\left(\right\{Kari\left\}\right)=25\% \\ P\left(\right\{Lars\left\}\right)=25\% \\ P\left(\right\{Mari\left\}\right)=50\% \end{gathered}$$ 

Vi ser at vi har en ikke-uniform sannsynlighetsmodell, og dermed er det ikke en helt rettferdig måte å fordele sitteplassene på.