Betinget sannsynlighet og produktsetningen

Uttrykket betinget sannsynlighet brukes når sannsynligheten for en hendelse A påvirkes av om en annen hendelse B inntreffer. Vi sier at A og B er avhengige hendelser. Hvis sannsynligheten for A ikke påvirkes av B sier vi at de er uavhengige hendelser.

Vi bruker symbolet $A|B$ for hendelsen "A gitt B", og $P\left(A\right|B)$ for sannsynligheten til en hendelse A forutsatt at hendelsen B allerede har inntruffet.

Hvis vi multipliserer med $P\left(B\right)$ på begge sider av likhetstegnet, får vi

 $P(A\cap B)=P\left(A\right|B)\cdot P(B)$.

Dette uttrykket kalles produktsetningen.

Legg merke til at hvis A og B er uavhengige hendelser er $P\left(A\right|B)=P(A)$, og da er $P(A\cap B)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$, akkurat som vi lærte på ungdomsskolen.

Nå skal vi se på et par eksempler.

Russ og russebil

Sannsynligheten for at en elev i tredje klasse blir russ er 95%. Sannsynligheten for at eleven både blir russ og spleiser på en russebil er 15%. Hva er sannsynligheten for at eleven spleiser på en russebil når vi vet at hun er en russ?

Først innfører vi hendelsene

Ut fra opplysningene vet vi at $P\left(R\right)=95\%$ og $P(R\cap B)=15\%$. Dermed er

 $P\left(B\right|R)=\frac{P(R\cap B)}{P\left(R\right)}=\frac{0,15}{0,95}=15,8\%\mathrm{.}$ 

Sannsynligheten for at en russ spleiser på en russebil er omtrent 16%.

Gymtimer.

Idrettsstudenten Josefine har gjennomført en undersøkelse i en klasse med 20 elever, hvor av åtte er jenter. Elevene ble spurt om de liker gymtimene. Fem av jentene, og alle guttene, svarte ja. Josefine trekker en tilfeldig elev til et intervju. La J stå for at eleven er en jente og L for at eleven liker gymtimer.

Hvordan tolkes $P\left(J\right),P\left(L\right),P\left(J\right|L),P(J\cap L)$ og $P\left(L\right|J)$, og hvor store er de?

• $P\left(J\right)$ er sannsynligheten for at eleven er ei jente: $P\left(J\right)=\frac{8}{20}=0,4$.
• $P\left(L\right)$ er sannsynligheten for at eleven liker gymtimer: $P\left(L\right)=\frac{5+12}{20}=0,85$.
• $P\left(J\right|L)$ er sannsynligheten for at det er ei jente gitt at eleven liker gymtimer: $P\left(J\right|L)=\frac{5}{12+5}=0,29$. Legg merke til at her er utfallsrommet endret til elever som liker gymtimer i stedet for alle elevene! Det er 12 gutter og 5 jenter som liker gymtimer.
•  $P(J\cap L)$ er sannsynligheten for at eleven er ei jente og samtidig liker gymtimer: $P(J\cap L)=P\left(J\right|L)\cdot P(L)=0,29\cdot 0,85=0,25$.
• $P\left(L\right|J)$ er sannsynligheten for at eleven liker gymtimer gitt at det er ei jente: $P\left(L\right|J)=\frac{P(J\cap L)}{P\left(J\right)}=\frac{0,25}{0,4}=0,63.$