Venn-diagram og mengdelære

Husk at et utfallsrom består av alle mulige utfall i et forsøk. Tenk at vi tegner opp hele utfallsrommet U som et rektangel, og innholdet i rektangelet skal representere alle elementene i utfallsrommet. Deretter tegner vi begivenheter som sirkler inne i utfallsrommet. Dette kalles et Venn-diagram, og er en abstrakt måte å representere utfall på. Dette betyr at man ikke skal henge seg opp i akkurat hvor ting er plassert, det viktige i et Venn-diagram er at det viser forholdet mellom utfall.

Venn-diagrammet for en begivenhet A ser ut som:

Anta nå at A og B er to begivenheter i utfallsrommet U. Det er lurt å repetere definisjonen av union, snitt, differanse, kompliment og disjunkte mengder. Begrepene kan du finne under Begrep til høyre.

La oss nå se på noen spesielle egenskaper ved blant annet union og snitt.

1. Unionen mellom en mengde og hele utfallsrommet er alltid lik utfallsrommet, altså $A\cup U=U$.
2. Snittet av en mengde og hele utfallsrommet er alltid lik mengden du startet med, altså $A\cap U=A$.
3. En mengde og sitt komplement er alltid disjunkte, og unionen av dem danner hele utfallsrommet. Kort notert: $A\cap A^c=\varnothing$ og $A\cup A^c=U$.
4. For disjunkte mengder $A$ og $B$ er $A\setminus B=A$ og $B\setminus A=B$.

Eksempel.

La utfallsrommet være U = {rød, hvit, blå, gul, grønn, svart }, begivenheten A = {rød, gul }, begivenheten B = {blå, gul } og begivenheten C = {hvit }. Vi tegner A og B i et Venn-diagram, der vi lar hvit, grønn og svart representeres samlet ved en lilla farge.

Unionen av A og B er lik det røde, blå og gule området dekket av de to sirklene, $A\cup B=$ {rød, gul, blå }.

Snittet av A og B er det gule området som er i både A og B, $A\cap B=$ {gul }.

Differansen mellom B og A er det området som er med i A, men ikke i B, altså det røde området. $A\setminus B=$ {rød }.

Differansen mellom A og B er det området som er med i B, men ikke i A, altså det blå området. $B\setminus A=$ {blå }.

Komplementet til A er hele området i utfallsrommet som ikke er A, altså de blå og lilla områdene. Som vi sa består det lilla området av alle utfallene i hele utfallsrommet bortsett fra A og B, det vil si hvit, grønn og svart. Derfor er $A^c=$ {blå, hvit, grønn, svart}.

Hvis vi ser på tilsvarende for begivenhetene A og C, ser Venn-diagrammet annerledes ut. Dette skyldes at begivenhetene A og C er disjunkte. Hvis vi nå lar det lilla området representere blå, gul, grønn og svart kan Venn-diagrammet for A og C tegnes som:

Prøv nå selv å finne $A\cup C,A\cap C,A\setminus C,C\setminus A,C^c,A\cup U$ og $A\cap U$.

Svar:

 $A\cup C=$ {rød, gul, hvit }

 $A\cap C=$ {$\varnothing$}

 $A\setminus C=A=$ {rød, gul }

 $C\setminus A=C=$ {hvit }

 $C^c=$ {rød, blå, gul, grønn, svart }

 $A\cup U=U=$ {rød, hvit, blå, gul, grønn, svart }

$A\cap U=A=$ {rød, gul }