Uavhengige hendelser og produktsetningen

To hendelser A og B kalles uavhengige om utfallet av den ene ikke påvirker utfallet av den andre. Sannsynligheten for at flere uavhengige hendelser inntreffer samtidig, er gitt som produktet av sannsynligheter for hver enkel hendelse.

Denne regelen bruker vi også andre veien noen ganger, når det er lett å finne de forskjellige P-ene i regelen: Hvis $P(A\cap B)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$ , er A og B to uavhengige hendelser.

Kinosaler

Bildet er hentet fra www.superman-picture.com

Kjetil bor i en by med to kinoer, M og N. Han vil se filmen "Superman" i en av de største salene. Sannsynligheten er 90% for at filmen vises i den største salen på kino M, mens den er 60% for at den vises i den største salen på kino N. Han vet også at det er 50% sannsynlighet for at filmen går på den største salen på begge kinoene. Er det at filmen vises i den største salen i en kino uavhengig av om den vises i den største salen i den andre?

La A stå for at filmen vises i den største salen på kino M og B at filmen vises i den største salen på kino N. Vi vet at

 $P\left(A\right)=0,9,P\left(B\right)=0,6$ og $P(A\cap B)=0,5$.

Vi kan nå regne ut at $P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=0,54$, og dette er ikke det samme som $P(A\cap B)=0,5$. Fra regelen vet vi dermed at A og B ikke er uavhengige. Dette betyr at kinoenes valg av sal er påvirket av hva den andre velger.

Skolebussen

Bildet er hentet fra bfk.no

Emilies skolebuss er ofte forsinket. Det er 30% sannsynlighet for at bussen er forsinket om morgen og 20% om ettermiddagen. Emilie har lyst til å klage på dette, men først vil hun ha alle fakta og derfor ønsker hun å beregne sannsynligheten for at bussen kommer for sent både på vei til skolen (S) og på vei hjem fra skolen (H).

La $P\left(S\right)$ betegne sannsynligheten for forsinkelsen om morgen og $P\left(H\right)$ sannsynligheten for at bussen kommer for sent om ettermiddagen. Vi vet at $P\left(S\right)=0,3$ og $P\left(H\right)=0,2$. I tillegg antar vi at forsinkelse fra og til skolen er to uavhengige begivenheter, siden det er to forskjellige sjåfører som kjører om morgen og om kvelden.

Derfor er sannsynligheten for at skolebussen kommer for sent både om morgen og om ettermiddagen lik produktet av de to sannsynlighetene:

 $P(S\cap H)=P\left(S\right)\cdot P\left(H\right)=0,3\cdot 0,2=0,06=6\%$.

Dette betyr at skolebussen er forsinket både morgen og kveld cirka hver 17. dag, altså litt sjeldnere enn hver tredje uke i snitt.

Kan du bruke regnereglene for komplementære hendelser og finne sannsynlighetene $P(S\cap H^c),P(S^c\cap H)$ og $P(S^c\cap H^c)$? Hva betyr de i praksis?