Rette linjer (lineære funksjoner)

I forrige seksjon så vi at en funksjon der variabelen er i første potens blir en rett linje. En lineær funksjon er en funksjon som kan skrives som $y=ax+b$, der $a$ og $b$ er konstante tall, mens $x$ er variabelen. Vi kaller dette noen ganger for en førstegradslikning fordi den ukjente $x$ er i første potens. Alle rette linjer i koordinatsystemer kan skrives som lineære funksjoner. Vi skal starte med noen eksempler.

Grafen til en førstegradslikning

Et eksempel på en lineær funksjon er $y=2x+1$. Når vi tegner denne lager vi en linje som går gjennom alle punktene $(x,y)$ som passer i denne likningen. Ett eksempel på et slikt tallpar er $x=-0,5$ og $y=0$. På tegningen til venstre kan du selv sjekke at dette punktet (og kanskje noen andre du regner ut selv) ligger på linja.

Grafen til $y=b$

Hvis $a=0$ er det viktig å ikke bli forvirret – grafen er fortsatt en rett linje. Siden $a$ er 0 blir $y=ax+b=0\cdot x+b=b$, og $x$-leddet er altså borte. Det betyr at uavhengig av hvilken verdi av $x$ vi velger får vi samme verdi av $y$, og dermed er grafen en flat rett linje. Til venstre har vi tegnet grafen for $y=1$.

Grafen til $y=ax+b$ bestemmes av $a$ og $b$

Ved å se på konstantene $a$ og $b$ kan man si mye om en lineær funksjon også uten å tegne den. Tallet $a$ står ved $x$, og avgjør hvor bratt funksjonen er, mens tallet $b$ flytter linja oppover eller nedover i koordinatsystemet.



I $y=2x+1$ er stigningstallet $a=2$. Det betyr at når vi går et steg til høyre langs $x$-aksen, stiger grafen med 2 oppover på $y$-aksen. Sammenlikn med grafen og sjekk at dette stemmer!



Linjen krysser $y$-aksen når $x=0$. I $y=2x+1$ er $b=1$, og det betyr at funksjonsverdien når grafen krysser $y$-aksen er $y=1$. Sjekk at dette stemmer med begge de to figurene over.

Et eksempel

Anta at punktene $(1,2)$ og $(2,5)$ ligger på grafen til en lineær funksjon. Vi vil tegne grafen og finne den lineære funksjonen som representerer denne rette linja.

Først markerer vi punktene:
Og så trekker vi linja:

For å finne funksjonen må vi finne stigningstallet og punktet der linjen krysser $y$-aksen. Stigningstallet finner vi ved å se hvor mye $y$ vokser når vi øker $x$ med 1. De to punktene forteller oss at når $x$ øker med 1 øker $y$ med 3. Dette betyr at stigningstallet $a$ er lik 3.

Konstantleddet finner vi ved å se hvor linjen krysser $y$-aksen. Der er $y$-verdien -1, og som vi forklarte over betyr dette at $b=-1$. Vi har dermed funnet ut  at funksjonsuttrykket er $y=3x-1$.

Et tips: Er du usikker på om du har funnet riktig uttrykk? Sett inn for $x$-verdiene fra de to punktene som ligger på grafen og se når du regner ut om du får de to tilhørende $y$-verdiene.