Løsning av førstegradslikning

Problemstilling

Beate kjøpte to poser med epler på butikken. Det var like mange epler i hver pose. Da hun åpnet posene fant hun fire råtne epler som hun måtte kaste og Beate satt igjen med åtte friske epler.

Hvor mange epler var det i hver pose?

Hva har vi fått vite?

Vi vet at Beate kjøpte to poser, men vi vet ikke hvor mange epler det var i hver pose. Antall epler i en pose er ukjent. Hun kastet fire epler og satt igjen med åtte epler.

Dette problemet kan vi skrive som følgende likning

$2x-4=8$

Likningen sier: Når vi trekker 4 fra $2x$, skal svaret være 8. Vi kan se at $2x$ må være 4 mer enn 8, det vil si at $2x=12$. Løsningen må være $x=6$.

La oss løse likningen trinn for trinn

$2x-4=8$    

Først legger vi til 4 på begge sider av likhetstegnet og regner ut det vi kan. 

$2x-4+4=8+4$ 

$2x=12$ 

For at vi skal få vite hva $x$ er, dividerer vi på begge sider av likhetstegnet med 2 og regner ut.

$\frac{2x}{2}=\frac{12}{2}$ 

$x=6$ 

Denne siste fremgangsmåten illustrerer en metode for å løse alle førstegradslikninger.

Førstegradslikninger og løsningmetoden

En førstegradslikning er en likning som inneholder én ukjent og ingen produkter av den ukjente med seg selv. Disse likningene kan skrives på formen

$ax+b=0$ med $a\ne 0$.

$a$ og $b$ står for uspesifiserte tall, men vi behandler dem som om de skulle være kjente tall. De kalles parametere. Løsningsmetoden over kan skrives ut slik:

$ax+b=0$ 

$ax+b-b=-b$ 

$ax=-b$ 

$\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}$ 

$x=\frac{-b}{a}$ 

Eksempel

Likningen i eksemplet over kunne skrives om til den likeverdige formen

$2x-12=0$

Det betyr at vi må velge $a=2$ og $b=-12$ i den generelle formen for førstegradslikninger. Og løsningen er altså

$x=-\frac{-12}{2}=6$.