Eksponentiallikninger

Maria setter inn $100 000$ på konto med $3$% i rente. Det vil si at for hvert år som går har Maria $1,03$ ganger det hun hadde året før. Hvor lang tid tar det før Maria har $200 000$? 

Etter første året har Maria $100 000\cdot 1,03$ kroner på konto.

Etter det andre året har hun $\left(100 000\cdot 1,03\right)\cdot 1,03=100 000\cdot {1,03}^2$ .

Etter det tredje året har hun $\left(100 000\cdot {1,03}^2\right)\cdot 1,03=100 000\cdot {1,03}^3$.

Etter det fjerde året har hun $\left(100 000\cdot {1,03}^3\right)\cdot 1,03=100 000\cdot {1,03}^4$.

Slik fortsetter det. Generelt har Maria etter $x$ år $100 000\cdot {1,03}^x$  kroner på konto. Maria har $200 000$ kr på kontoen når $100 000\cdot {1,03}^x=200 000$. Dette er en eksponentiallikning, fordi den ukjente $x$ er i eksponenten.

 

 

Å løse eksponentiallikninger

For å løse eksponentiallikninger går vi gjennom to steg

1. Sørg for at potensen med den ukjente i eksponenten står alene på en side av likningen.

2. Ta logaritmen av begge sider av likningen.

Eksempel 1

Løs likningen ${2\cdot 10}^x=4$.

1. For å få potensen alene på venstresiden, må vi dividere med $2$:

$\frac{2\cdot {10}^x}{2}=\frac{4}{2}$

${10}^x=2$.

2. Fordi vi i likningen har $10$ som grunntall i potensen med $x$ i eksponenten (${10}^x$), tar vi

 med grunntall $10$ på begge sider av likhetstegnet:

${\log }_{10}\left({10}^x\right)={\log }_{10}\left(2\right)$

Vi vet ${\log }_{10}\left({10}^x\right)=x$ fordi grunntallet i potensen er det samme som grunntallet i logaritmen. Dermed står vi igjen med

$x={\log }_{10}\left(2\right)=0,301$.

Her kan vi bruke kalkulator til å regne ut logaritmen til $2$ (denne er vist som bare log på kalkulatoren).

NB: Fordi 10 er et av de vanligste grunntallene i logaritmer, bruker vi bare $\log \left(a\right)$ i stedet for ${\log }_{10}\left(a\right)$.

Grunntallet er ikke 10?

Men hva gjør vi hvis grunntallet ikke er $10$?

Eksempel 2

La oss igjen ta for oss Maria sitt renteproblem. Altså

${1,03}^x=2$.

Med regelen over kan vi nå løse likningen:

${1,03}^x=2$	Vi tar logaritmen på begge sider,
$\log \left({1,03}^x\right)=\log \left(2\right)$	vi bruker regelen over,
$\log \left(1,03\right)\cdot x=\log \left(2\right)$	vi deler på $\log \left(1,03\right)$ på begge sider,
$x=\frac{\log \left(2\right)}{\log \left(1,03\right)}$	og til slutt regner vi ut svaret med kalkulator,
$x=23,5$	... og får svaret!

Ifølge svaret tar det altså $23,5$ år før Maria har $200 000$ kr på konto. Vi runder opp til $24$ år og sjekker svaret

$100 000\cdot {1,03}^{24}=203 279$.

Svaret stemmer og Maria bør nok tenke på andre inntektskilder enn renter. 

Eksempel 3

Løs følgende eksponentiallikning der $x$ i eksponenten er multiplisert med en konstant:

${10}^{0,5x}=5$

Vi får simpelthen at $\log \left({10}^{0,5x}\right)=0,5x$ og kan løse likningen ut ifra det:

$\log \left({10}^{0,5x}\right)=\log \left(5\right)$

$0,5x=\log \left(5\right)$ 

$x=\frac{\log \left(5\right)}{0,5}=1,3979$ .

Eksempel 4

Noen eksponentiallikninger har ingen løsning. For eksempel kan ikke en potens med positivt grunntall gi et negativt tall eller null.

Vi kan for eksempel ikke løse 

$2^x=-1$,

${0,15}^x=0$,

og ${100}^{0,8x}=-1$.

e som grunntall

Av grunner som vil bli klare hvis du studerer mere matematikk, pleier matematikere først og fremst å bruke grunntallet $e\approx 2,71828$ (et 

) med tilhørende logaritme ${\log }_e$, som kalles den naturlige logaritmen, og skrives $\ln \left(\right)$. Vi har dermed følgende:

For mer om logaritmer, se i høyrespalten på lynkurset Logaritmer eller de enkelte artiklene om logartimelikninger, den Briggske og den naturlige logaritmen.