Den Briggske logaritmen

Hva er den Briggske logaritmen?

Deﬁnisjon

Gitt et positivt tall $x$ så er logaritmen til $x$ , $\log x$ , deﬁnert som det unike tallet som oppfyller egenskapen $1 0^{\log x} = x .$

Vi merker først at log x ikke er deﬁnert for negative tall eller null: uansett hva vi velger å opphøye $10$ i kommer vi til å få et positivt tall tilbake. Fra et intuitivt perspektiv er det greit å lese log x som “tallet du må opphøye $10$ i for å få $x$ .”

Eksempel 1

Logaritmen til $1$ er simpelthen $0$ , fordi $10^{0} = 1$ .

Eksempel 2

La oss regne ut $\log 0, 01$ . Vi vet at $0, 01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^{2}} = 10^{- 2}$ . Dermed er $\log 0, 01 = \log 10^{- 2} = - 2$ .

Eksempel 3

Logaritmen til $100000$ er $5$ , da $100000 = 10^{5}$ .

Før vi begynner å se på praktiske eksempler er det nyttig å kunne regne litt med logaritmer. Det følgende teoremet tar for seg de grunnleggende logaritmereglene:

Teorem

(a) $\log x^{y} = y \log x$

(b) $\log x y = \log x + \log y$

Bevis

(a) Per deﬁnisjon har vi at $10^{\log x^{y}} = x^{y} .$ Men hva om vi ser på $y \log x$ ? Vi husker fra potensreglene at ${(a^{b})}^{c} = a^{b c} .$ Ved å anvende denne regelen har vi at

$10^{y \log x} = {(10^{\log x})}^{y} = x^{y}$

og vi har vist (a).

(b) Vi husker igjen fra potensreglene at $a^{b + c} = a^{b} a^{c}$ . Det følger at

$10^{\log x + \log y} = 10^{\log x} 10^{\log y} = x y = 10^{\log x y}$

og vi har vist (b).

$10^{\log x - \log y} = \frac{10^{\log x}}{10^{\log y}} = \frac{x}{y} = 10^{\log \frac{x}{y}}$

og vi har vist (c).

Eksempel 4

En sykdom bryter ut i en storby hvor det bor ﬁre millioner mennesker. 500 er smittet, og antall smittede tredobles hver hver uke. Hvor lang tid tar det før alle er smittet om vi antar at ingen blir friske underveis?

Antall smittede etter $x$ uker kan skrives som $f (x) = 500 \cdot 3^{x} .$ Dermed er vi bedt om å løse likningen

$500 \cdot 3^{x} = 4 \cdot 10^{6} .$

Om vi først dividerer begge sider av likningen med $500$ får vi

$3^{x} = 8000 .$

Vi tar logaritmer på begge sider

$\log 3^{x} = \log 8000$

og vi kan bruke (a) i teoremet og skrive om likningen til

$x \log 3 = \log 8000 .$

Dividerer vi med $\log 3$ begge sider av likningen, er vi ferdige da

$x = \frac{\log 8000}{\log 3} \approx 8, 2 .$

Dermed tar det litt over 8 uker før hele byen er smittet.

Eksempel 5

Prisen på en matvare øker med $4 %$ hvert år. Om den originale prisen er $20$ kr når er prisen $30$ kr eller over?

Prisen etter $x$ år er gitt ved formelen ${20 \cdot 1, 04}^{x} .$ Likningen vi ønsker å løse er

${20 \cdot 1, 04}^{x} = 30 .$

Vi dividerer begge sider med $20$ og får at

${1, 04}^{x} = \frac{3}{2}$ .

Dermed tar vi logaritmer på begge sider, bruker (a) i teoremet og får

$x \log 1, 04 = \log \frac{3}{2} .$

Løsningen

$x = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log 1, 04} \approx 10, 3$ .

Dermed tar det $11$ år før prisen er over $30$ kr.

Del på Facebook

Del på Facebook