Logaritmelikninger

Eksempler på logaritmelikninger er

$\log \left(x\right)+2=4$,

$4\log \left(x^4\right)-2\log \left(x^2\right)+14=0$,

${log}_2\left(x\right)=4$,

og ${\left(\ln \left(x\right)-4\right)}^2=2$.

Husk: hvis det bare står $\log \left(\right)$ så er grunntallet $10$ og $\ln \left(\right)$ har grunntall $e\approx 2,71828182845$.

Vi repeterer en viktig regel:

Løsningsmetode

1. Sørg for at $\log \left(x\right)$ står alene på en side av likningen. Vi bruker vanlige regler for likningsløsning for å få $\log \left(x\right)$ alene på én side.

2. Opphøy grunntallet i logaritmen med hver side av likningen.

Eksempel 1

Vi løser $\log \left(x\right)+2=4$.

1. Vi sørger for at uttrykket med logaritme står alene på en side av likningen:

$\log \left(x\right)+2-2=4-2$ 

$\log \left(x\right)=2$

2. Siden grunntallet i dette tilfellet er $10$, opphøyer vi hver side av likningen:

${10}^{\log \left(x\right)}={10}^2$

Vi bruker så regelen over og får at $x=100$.

Regler for logaritmer

Det er viktig å kjenne til logaritmereglene når man skal løse logaritmelikninger.

Eksempel 2

Løs likningen $3\ln \left(x\right)-7=-2+\ln \left(x\right)$.

$3\ln \left(x\right)-7=-2+\ln \left(x\right)$	Samler $\ln \left(\right)$-utrykk på venstresiden og konstanter på høyresiden,
$2\ln \left(x\right)=5$	vi deler på 2 på begge sider,
$\ln \left(x\right)=\frac{5}{2}$	vi opphøyer $e\approx 2,71828182845$ på begge sider,
$e^{\ln \left(x\right)}=e^{\frac{5}{2}}$	den naturlige logaritmen $\ln \left(\right)$ har $e$ som grunntall får vi ved regelen over:
$x=12,182$	... og vi har svaret!

Eksempel 3

Løs likningen $\log \left(x+2\right)=2\log \left(x\right)$.

Vi vet at  $\log \left(a^n\right)=n\cdot \log \left(a\right)$. Derfor er $2\log \left(x\right)=\log \left(x^2\right)$ og dermed får vi

$\log \left(x+2\right)=\log \left(x^2\right)$.

Nå opphøyer vi $10$ på begge sider:

${10}^{\log \left(x+2\right)}={10}^{\log \left(x^2\right)}$ 

$x+2=x^2$

$0=x^2-x-2$

Denne likningen løser vi som en vanlig andregradslikning (se i høyrespalten) og vi får at

$x=-1\vee x=2$.

Viktig: Sett prøve på svaret! Den negative løsningen er ikke gyldig løsning da vi ikke kan ta logaritme til et negativt tall. Derfor er $x=2$ den eneste løsningen.

Eksempel 4

Vi har likningen $\log \left(x^2\right)+2\log \left(x^5\right)-3+3\log \left(x^6\right)=0$.

$\log \left(x^2\right)+2\log \left(x^5\right)-3+3\log \left(x^6\right)=0$	Vi legger til 3 på begge sider,
$\log \left(x^2\right)+2\log \left(x^5\right)+3\log \left(x^6\right)=3$	vi bruker regel 2,
$2\cdot \log \left(x\right)+2\cdot 5\cdot \log \left(x\right)+3\cdot 6\cdot \log \left(x\right)=3$	vi summerer opp logaritmeutrykkene,
$30\log \left(x\right)=3$	vi deler på 26,
$\log \left(x\right)=\frac{3}{30}$	vi opphøyer 10 på begge sider,
$x={10}^{\frac{3}{30}}=\sqrt[10]{10}\approx 1,259$	... og vi har løst likningen.

Eksempel 5

Løs likningen ${\left(\log \left(x\right)\right)}^2-\log \left(x\right)-2=0$.

Først utfører vi en substitusjon. La $u=\log \left(x\right)$ slik at likningen ser ut som

$u^2-u-2=0$

Dette er en

. Løs likningen (se i høyrespalten) og du vil få at $u=-1\vee u=2$. Bruk nå disse løsningene til å faktorisere venstresiden i den andregradslikningen (se i høyrespalten):

 $\left(u+1\right)\left(u-2\right)=0$

Vi setter inn igjen $\log \left(x\right)$ for $u$:

$\left(\log \left(x\right)+1\right)\left(\log \left(x\right)-2\right)=0$

Vi observerer at likningen er oppfylt når en av parentesene er lik $0$, altså enten er

$\log \left(x\right)+1=0$

$\log \left(x\right)=-1$

$x={10}^{-1}=0,1$

eller

$\log \left(x\right)-2=0$

$\log \left(x\right)=2$

$x={10}^2=100$.

Likningen har to løsninger, $x=0,1\vee x=100$.

 

For flere eksempler se i høyrespalten Logaritmelikninger.