Processing math: 100%
Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Logaritmelikninger

Hva kjennetegner en logaritmelikning?

Eksempler på logaritmelikninger er

log(x)+2=4,

4log(x4)-2log(x2)+14=0,

log2(x)=4,

og (ln(x)-4)2=2.

Husk: hvis det bare står log() så er grunntallet 10 og ln() har grunntall e2,71828182845.

Vi repeterer en viktig regel:

REGEL

For to positive tall a og b gjelder

aloga(b)=b  

For grunntall 10 gjelder det 10log(b)=b.

Løsningsmetode

1. Sørg for at log(x) står alene på en side av likningen. Vi bruker vanlige regler for likningsløsning for å få log(x) alene på én side.

2. Opphøy grunntallet i logaritmen med hver side av likningen.

Eksempel 1

Vi løser log(x)+2=4.

1. Vi sørger for at uttrykket med logaritme står alene på en side av likningen:

log(x)+2-2=4-2 

log(x)=2

2. Siden grunntallet i dette tilfellet er 10, opphøyer vi hver side av likningen:

10log(x)=102

Vi bruker så regelen over og får at x=100.

Regler for logaritmer

Det er viktig å kjenne til logaritmereglene når man skal løse logaritmelikninger.

Regel

For tall a, b og n, der a og b er positive gjelder

 log(ab)=log(a)+log(b),

 log(an)=nlog(a).

Eksempel 2

Løs likningen 3ln(x)-7=-2+ln(x).

3ln(x)-7=-2+ln(x) Samler ln()-utrykk på venstresiden og konstanter på høyresiden,
2ln(x)=5 vi deler på 2 på begge sider,
ln(x)=52 vi opphøyer e2,71828182845 på begge sider,
eln(x)=e52 den naturlige logaritmen ln() har e som grunntall får vi ved regelen over:
x=12,182 ... og vi har svaret!

Eksempel 3

Løs likningen log(x+2)=2log(x).

Vi vet at  log(an)=nlog(a). Derfor er 2log(x)=log(x2) og dermed får vi

log(x+2)=log(x2).

Nå opphøyer vi 10 på begge sider:

10log(x+2)=10log(x2) 

x+2=x2

0=x2-x-2

Denne likningen løser vi som en vanlig andregradslikning (se i høyrespalten) og vi får at

x=-1x=2.

Viktig: Sett prøve på svaret! Den negative løsningen er ikke gyldig løsning da vi ikke kan ta logaritme til et negativt tall. Derfor er x=2 den eneste løsningen.

Eksempel 4

Vi har likningen log(x2)+2log(x5)-3+3log(x6)=0.

log(x2)+2log(x5)-3+3log(x6)=0 Vi legger til 3 på begge sider,
 log(x2)+2log(x5)+3log(x6)=3 vi bruker regel 2,
 2log(x)+25log(x)+36log(x)=3 vi summerer opp logaritmeutrykkene,
 30log(x)=3 vi deler på 26,
log(x)=330 vi opphøyer 10 på begge sider,
x=10330=10101,259 ... og vi har løst likningen.

Eksempel 5

Løs likningen (log(x))2-log(x)-2=0.

Først utfører vi en substitusjon. La u=log(x) slik at likningen ser ut som

u2-u-2=0

Dette er en

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

ax2+bx+c=0 

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen. 

andregradslikning
. Løs likningen (se i høyrespalten) og du vil få at u=-1u=2. Bruk nå disse løsningene til å faktorisere venstresiden i den andregradslikningen (se i høyrespalten):

 (u+1)(u-2)=0

Vi setter inn igjen log(x) for u:

(log(x)+1)(log(x)-2)=0

Vi observerer at likningen er oppfylt når en av parentesene er lik 0, altså enten er

log(x)+1=0

log(x)=-1

x=10-1=0,1

eller

log(x)-2=0

log(x)=2

x=102=100.

Likningen har to løsninger, x=0,1x=100.

 

For flere eksempler se i høyrespalten Logaritmelikninger.

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten
LeftRight