Logaritmelikninger
Hva kjennetegner en logaritmelikning?
Eksempler på logaritmelikninger er
log(x)+2=4,
4log(x4)-2log(x2)+14=0,
log2(x)=4,
og (ln(x)-4)2=2.
Husk: hvis det bare står log() så er grunntallet 10 og ln() har grunntall e≈2,71828182845.
Vi repeterer en viktig regel:
REGEL
For to positive tall a og b gjelder
aloga(b)=b
For grunntall 10 gjelder det 10log(b)=b.
Løsningsmetode
1. Sørg for at log(x) står alene på en side av likningen. Vi bruker vanlige regler for likningsløsning for å få log(x) alene på én side.
2. Opphøy grunntallet i logaritmen med hver side av likningen.
Eksempel 1
Vi løser log(x)+2=4.
1. Vi sørger for at uttrykket med logaritme står alene på en side av likningen:
log(x)+2-2=4-2
log(x)=2
2. Siden grunntallet i dette tilfellet er 10, opphøyer vi hver side av likningen:
10log(x)=102
Vi bruker så regelen over og får at x=100.
Regler for logaritmer
Det er viktig å kjenne til logaritmereglene når man skal løse logaritmelikninger.
Regel
For tall a, b og n, der a og b er positive gjelder
log(a⋅b)=log(a)+log(b),
log(an)=n⋅log(a).
Eksempel 2
Løs likningen 3ln(x)-7=-2+ln(x).
3ln(x)-7=-2+ln(x) | Samler ln()-utrykk på venstresiden og konstanter på høyresiden, |
2ln(x)=5 | vi deler på 2 på begge sider, |
ln(x)=52 | vi opphøyer e≈2,71828182845 på begge sider, |
eln(x)=e52 | den naturlige logaritmen ln() har e som grunntall får vi ved regelen over: |
x=12,182 | ... og vi har svaret! |
Eksempel 3
Løs likningen log(x+2)=2log(x).
Vi vet at log(an)=n⋅log(a). Derfor er 2log(x)=log(x2) og dermed får vi
log(x+2)=log(x2).
Nå opphøyer vi 10 på begge sider:
10log(x+2)=10log(x2)
x+2=x2
0=x2-x-2
Denne likningen løser vi som en vanlig andregradslikning (se i høyrespalten) og vi får at
x=-1∨x=2.
Viktig: Sett prøve på svaret! Den negative løsningen er ikke gyldig løsning da vi ikke kan ta logaritme til et negativt tall. Derfor er x=2 den eneste løsningen.
Eksempel 4
Vi har likningen log(x2)+2log(x5)-3+3log(x6)=0.
log(x2)+2log(x5)-3+3log(x6)=0 | Vi legger til 3 på begge sider, |
log(x2)+2log(x5)+3log(x6)=3 | vi bruker regel 2, |
2⋅log(x)+2⋅5⋅log(x)+3⋅6⋅log(x)=3 | vi summerer opp logaritmeutrykkene, |
30log(x)=3 | vi deler på 26, |
log(x)=330 | vi opphøyer 10 på begge sider, |
x=10330=10√10≈1,259 | ... og vi har løst likningen. |
Eksempel 5
Løs likningen (log(x))2-log(x)-2=0.
Først utfører vi en substitusjon. La u=log(x) slik at likningen ser ut som
u2-u-2=0
Dette er en
Andregradslikning
En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:
ax2+bx+c=0
Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.
(u+1)(u-2)=0
Vi setter inn igjen log(x) for u:
(log(x)+1)(log(x)-2)=0
Vi observerer at likningen er oppfylt når en av parentesene er lik 0, altså enten er
log(x)+1=0
log(x)=-1
x=10-1=0,1
eller
log(x)-2=0
log(x)=2
x=102=100.
Likningen har to løsninger, x=0,1∨x=100.
For flere eksempler se i høyrespalten Logaritmelikninger.
Del på Facebook