Potenser og røtter

Dette kurset er lagt opp slik at du finner en rask gjennomgang av alle regneregler i "Rask gjennomgang av regneregler for potenser og røtter", og så finner du mer utdypende artikkeler under.

Potenser

En potens er et tall ganget med seg selv et bestemt antall ganger. $2^{3}$ er for eksempel $2$ ganget med seg selv $3$ ganger, altså $2 \cdot 2 \cdot 2$ . Vi bruker for eksempel potenser når vi snakker om veldig store eller veldig små tall. Jorda veier omkring $5973600000000000000000000 kg$ , men dette er skrekkelig upraktisk å skrive, så vi skriver istedet $5, 9736 \cdot 10^{24}$ .

En potens består av et grunntall opphøyet i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal ganges med seg selv. Potensen under har grunntall $2$ og eksponent $3$ . Eksponenten forteller hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv.

Det er enklest å forstå hva en potens er når både grunntallet og eksponenten er positive. Vi kan immidlertid ha både grunntall og eksponenter og grunntall som er både negative og brøker.

Røtter

kvadratroten

La $a$ være større enn 0. Da er kvadratroten av $a$ , $\sqrt{a}$ , det tallet $b$ som opphøyet i andre gir $a$ , altså $b^{2} = a$ . Vi skriver $\sqrt{a} = b$ .

Eksempel: $\sqrt{25} = 5$ fordi $5^{2} = 25$ . Men legg merke til at også ${(- 5)}^{2} = (- 5) \cdot (- 5) = 25$ , derfor skriver vi gjerne $\sqrt{25} = \pm 5$ . Dette gjelder generelt for kvadratrøtter, vi får alltid en positiv og en negativ løsning.

Kubikkroten

La $a$ være et tall. Da er kubikkroten av $a$ , $\sqrt[3]{a}$ , det tallet $b$ som opphøyet i tredje gir $a$ , altså $b^{3} = a$ . Vi skriver $\sqrt[3]{a} = b$ .

Eksempel: $\sqrt[3]{8} = 2$ fordi $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . I motsetning til med kvadratrøtter, kan vi ta kubikkroten av et negativt tall. For eksempel er $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ fordi $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ .

Siden $2^{2} = 4$ , er $\sqrt{4} = 2$ og siden $2^{3} = 8$ er $\sqrt[3]{8} = 2$ . Slik kan vi fortsette: siden $2^{4} = 16$ , er $\sqrt[4]{16} = 2$ og siden $3^{5} = 243$ er $\sqrt[5]{243} = 3$ . Vi kaller dette for henholdsvis fjerderoten og femteroten. Vi kan definere en generell n-te rot:

n-te roten

For et positivt tall $n$ og et tall $a$ , er n-te roten av $a$ , tallet $b$ slik at $a = b^{n}$ . Vi skriver $\sqrt[n]{a} = b$ . Hvis $n$ er et partall, må $a$ være et postivt tall.

Hvis $n$ er et partall, må vi forutsette $a \geq 0$ , og da har vi $\sqrt[n]{a} = \pm x$ . Dersom $n$ er et oddetall, er $\sqrt[n]{a}$ definert for alle tall $a$ og er positiv eller negativ avhengig av om $a \geq 0$ eller $a < 0$ .

Lynkurs 11.-13.trinn

Består av:

Begrep

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger
Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.