Lineære likninger

Eksempler på lineære likninger er 

$2x-10+x=x+10+10$,

$\frac{4}{2}x+9x-2=12x$,

$\frac{x}{3}=\frac{1}{2}$,

og $8x=0$.

Hvordan løse en lineær likning?

En likning har en venstreside (til venstre for likhetstegnet) og en høyreside (til høyre for likhetstegnet).

Vi legger alltid til det samme på begge sider av likningen. Vi trekker alltid like mye fra på begge sider av likningen.

Hvis vi multipliserer en side av likningen, må vi multiplisere med det samme den andre siden av likningen. Tilsvarende gjelder for divisjon. Husk at når man multipliserer en side av likningen, betyr det å multiplisere hvert enkelt ledd.

Tenk på likningen som en vektskål i balanse: hvis du legger til like mye på hver side, beholder vi balansen. 

Å løse en likning betyr å skrive "den ukjente er lik svaret". Som oftest brukes $$$x$ for den ukjente, men husk at det kan være hvilken som helst bokstav. Målet vårt er å få $x$ alene på ene siden av likhetstegnet.

Vi bruker følgende operasjoner:

Trekke fra eller legge til det samme på begge sider av likningen.

Dividere eller multiplisere med det samme på begge sider av likningen.

Løsningsmetoden kan oppsummeres slik:

1. Trekk sammen like ledd på hver side av likningen.
Vi trekker sammen alle $x$-ledd på venstresiden og vi gjør det samme på høyresiden. Vi trekker sammen alle konstanter på venstresiden og vi gjør det samme på høyresiden.

2. Legg til eller trekk fra det samme på hver side av likningen slik at alle $x$-ledd står alene på én side av likningen.

3. Divider eller multipliser med det samme på hver side av likningen slik at $x$ står alene på en side.

Eksempel 1

Løs likningen $2x-10+x=x+10+10$.

1. Vi trekker sammen like ledd på hver side:

$3x-10=x+20$.

2. Vi vil ha $x$-ledd alene på venstresiden og konstantene på høyresiden. Først trekker vi fra $x$ på begge sider av likningen:

$3x-10-x=x+20-x$

$2x-10=20$

Nå legger vi til 10 på begge sider av likningen:

$2x-10+10=20+10$ 

$2x=30$

3. For å få $x$ alene på ene siden må vi dividere med 2:

$\frac{2x}{2}=\frac{30}{2}$

$x=15$

Å multiplisere med fellesnevner

Vi viser denne teknikken med et eksempel:

$\frac{3}{4}x-\frac{8}{3}x+5=\frac{1}{6}x+2.$

Observer at alle ledd med $x$ er brøkutrykk. For gjøre det enklere i videre utregninger, multipliserer vi begge sider av likningen med fellesnevneren. Fellesnevneren til $4, 3 \mathrm{og} 6 \mathrm{er} 12.$

$12\cdot \left(\frac{3}{4}x-\frac{8}{3}x+5\right)=12\cdot \left(\frac{1}{6}x+2\right)$

$9x-32x+60=2x+24$

Nå har vi et enkelt utrykk vi kan løse: