Parenteser i et regnestykke

Hva får vi når vi multipliserer 2 med 2 og legger til 3?

Spørsmålet kan ha to forskjellige tolkninger som gir forskjellige svar:

Tolkning 1:    Vi kan multiplisere 2 med 2 og deretter legge til 3. Da får vi 7.

Tolkning 2:    Vi kan multiplisere 2 med summen av 2 og 3, altså først legge sammen 2 og 3, og deretter multiplisere med 2. Da får vi 10.

For å gjøre spørsmålet entydig, skiller vi disse to tolkningene ved hjelp av parenteser.

Tolkning 1:    $(2\cdot 2)+3=4+3=7$

Tolkning 2:    $2\cdot (2+3)=2\cdot 5=10$

Parentesen betyr i begge tilfellene at det som står inne i parentesen skal regnes ut først. I tillegg har vi en regel for rekkefølgen i en utregning slik at vi begrenser antall parenteser i et uttrykk.

Multiplikasjon har forkjørsrett i regneuttrykk slik at vi ikke bruker parenteser så to eller flere tall multipliseres sammen. Derfor skriver vi tolkning 1 som $2\cdot 2+3=7$.

Eksempel 1.

Vi skal trekke fire fra ti multiplisert med to. Dette uttrykket skrevet med ord har igjen to forskjellige tolkninger.

Tolkning 1:   $10-4\cdot 2=10-8=2$      
Vi husker fra forrige eksempel at dette er en forkortet skrivemåte for $10-(4\cdot 2)=2$. Vi skriver ikke parentesen rundt tallene på begge sider av multiplikasjonstegnet, fordi multiplikasjon har forkjørsrett i regnestykker.

Tolkning 2:    $(10-4)\cdot 2=6\cdot 2=12$
I dette tilfellet bestemmer parentesene. Vi regner først ut $10-4=6$, og deretter multipliserer vi 6 med 2 og får 12.

Konklusjon: Hvis det ikke er skrevet parenteser, er det tolkning 1 som gjelder.

Fordelingsregel

La oss se på regnestykket $7\cdot 8$. Vi kan skrive $7=5+2$, og da kan vi skrive hele regnestykket som

$7\cdot 8=(5+2)\cdot 8=5\cdot 8+2\cdot 8$

Her skal det altså tolkes som om det står parenteser om $5\cdot 8$ og om $2\cdot 8$. Det gjelder selvsagt på samme måte om parentesen står til sist:

$7\cdot 8=7\cdot (5+3)=7\cdot 5+7\cdot 3$

Vi formulerer fordelingsregelen slik:

Eksempel 2.

Regn ut $4\cdot (3+4)$.

Vi kan enten

• regne ut innholdet inne i parentesen, og deretter multiplisere med 4.

$4\cdot (3+4)=4\cdot 7=28$.

eller

• løse opp parentesen ved å multiplisere 4 med hvert av leddene inne i parentesen og deretter summere.

$4\cdot (3+4)=4\cdot 3+4\cdot 4=12+16=28$.

At disse to framgangsmåtene gir samme resultat, er noe som vi får mye bruk for når vi skal regne med bokstaver som ukjente og variable størrelser (algebra).

Vi vil også se på tilfellet der vi multipliserer to parenteser med hverandre. Vi går tilbake regnestykket $7\cdot 8$. Hvis vi nå både erstatter 7 med $5+2$ og 8 med $5+3$, får vi at $7\cdot 8=(5+2)\cdot (5+3)$. Vi hadde denne illustrasjonen:

Resultatet er at

$(5+2)\cdot (5+3)=5\cdot 5+5\cdot 3+2\cdot 5+2\cdot 3$

Ved vanlig tallregning er vi kanskje ikke så ofte bevisst dette, men dersom vi regner med bokstaver, er det straks svært viktig.