Regning med negative tall

Det kalles ofte å regne med fortegnstall når vi opererer med positive og negative tall. Vi kan illustrere fortegnstall på ei tallinje som strekker seg i begge retninger fra 0:

Legg merke til at minustegnet som er regnetegn i subtraksjon, brukes nå for å angi et negativt tall, som -5. Vi kan også si at tegnet skal angi det motsatte tallet til et tall: det tallet som ligger like langt fra 0, men på motsatt side på tallinja. Dermed blir det også mening i å skrive -(-5).
Vi konkluderer med at -5 både er et negativt tall og at det er det motsatte tallet til 5. Og videre er -(-5) det motsatte tallet til -5. Dermed er -(-5) = 5, altså et positivt tall.

Sjeldent skriver vi også de positive tallene med fortegn, for eksempel +5. Det er i det tilfellet ikke et regnetegn, men et fortegn. Et fortegnstall skrives altså med et fortegn (+ eller -) etterfulgt av ett eller flere siffer.

Legge sammen et negativt og et positivt tall

Eksempel 1.

Du har til din forskrekkelse oppdaget at du har -240,34 kroner på kontoen din. Du ønsker selvsagt ikke å ha negativ saldo, så du setter straks inn for eksempel 500 kroner. Hva er din nye saldo?

Du har altså -240,34 på kontoen og legger til 500:

$-240,34+500=259,66$.

Den nye saldoen er 259,66 kroner.

Vi kunne også si dette slik: Du setter inn 500 kroner. For å finne den nye saldoen må du trekke fra de 240,34 kronene du skylder:

$500-240,34=259,66$.

Disse to vinklingene på problemet gir oss et resultat om utregninger med negative tall:

$-240,34+500=500-240,34=259,66$.

Eller sagt med ord:

Siden vi kan bytte rekkefølge ved addisjon, må vi også kunne skrive dette slik:

$500+(-240,34)=500-240,34=259,66$.

Det er vanlig å sette parentes rundt et negativt tall når tallet kommer etter et regnetegn.

Trekke fra et negativt tall 

Eksempel 2.

La oss gå tilbake til situasjonen med den negative saldoen -240,34 kroner. Dette liker du fortsatt ikke, men nå har du ikke penger til å slette gjelda. Du får det likevel til ved å overtale en rik tante til å ordne opp. Du hadde gjeld, og nå er gjelda borte:

 $-240,34-(-240,34)=0$.

Men det betyr at tanta setter inn 240,34 kroner på kontoen:
   
$-240,34+240,34=0$.

Vi har -240,34 kroner, og noen setter inn 240,34 kroner. Vi tenker at å legge til noe positivt er det samme som å fjerne noe negativt:

$-240,34-(-240,34)=-240,34+240,34$.

For å få fullstendig oversikt over regning med negative tall, må vi ta for oss det å multiplisere og dividere et positivt tall med et negativt, og å multiplisere eller dividere to negative tall med hverandre. Det første kan vi illustrere med et eksempel.

Multiplikasjon og divisjon med et negativt tall

Eksempel 3.

Det er vanlig å betegne havnivå som nullnivå for høyde. Tenk deg at to sportsdykkere befinner seg i sjøen 4 meter under vannflata. Vi kan si at de er på -4 meter. Nå bestemmer de seg for å dykke fire ganger så langt ned. Hvilket nivå er da dykkerne på?

$4\cdot (-4)=(-4)\cdot 4=-16$.

Så finner de ut at de vil halvere dybden:

$-16:2=-8$.

Dykkerne er da 8 meter under havoverflata, på -8 meter. 

Hva skjer når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre? Slike problemer dukker ofte opp i likninger og annen regning med bokstavuttrykk, men er sjeldne i hverdagen. Resultatet er ikke vanskelig å huske. 

Hvorfor er produktet av to negative tall et positivt tall? For at regnereglene over skal gjelde, må dette produktet være positivt.

La oss se på et eksempel.

Eksempel 4.

Hvorfor er $(-3)\cdot (-5)=3\cdot 5$?

Ifølge fordelingsregelen må vi ha
 
$(-3)\cdot (-5+5)=(-3)\cdot (-5)+(-3)\cdot 5=(-3)\cdot (-5)-3\cdot 5=(-3)\cdot (-5)-15$

Men $-5+5=0$, slik at vi også har $-3\cdot (-5+5)=-3\cdot 0=0$. Det betyr at $(-3)\cdot (-5)=15=3\cdot 5$.

Vi beviser ikke dette, men dette resultatet og resonnementet gjelder selvsagt for alle tall, ikke bare for -3 og -5.

Når det gjelder divisjon, må dette følge multiplikasjon, fordi multiplikasjon og divisjon er motsatte regnearter.

Vi kan spørre:

1. Hva er $(-15):3$? Fordi $3\cdot (-5)=-15$, må vi ha $(-15):3=-5$.
2. Hva er $15:(-3)$? Det må være -5, fordi $(-3)\cdot (-5)=15$.
3. Hva er $(-15):(-3)$? Fordi $(-3)\cdot 5=-15$, er dette lik 5.

Negative tall og parenteser

Eksempel 4

Regn ut $100-(20+50)$.

Vi kan tenke på to måter:

1. Vi adderer først tallene i parentesen, og får $100-70=30$.
2. Vi subtraherer først 20 fra 100 og så 50 fra 100, og får $100-20-50$.

Dette betyr at $100-(20+50)=100-20-50$.

Hva gjorde vi her? Jo vi trakk fra en sum i en parentes fra et tall. Vi gjør dette ved å fjerne parentesen og samtidig endrer fortegnene eller regnetegnene foran begge tallene som sto inne i parentesen. Vi kaller det å løse opp parentesen. Dette resultatet gjelder generelt når vi har minus foran en parentes, og vi ønsker å løse den opp, også om noen av leddene er negative.

Eksempel 5.

Vi skal regne ut $-(12-13)+2\cdot (2+3)-3\cdot (3+2)$.

Det enkleste er selvfølgelig å regne ut innholdet i parentesene først, og deretter multiplisere ut og legge sammen:

  $-(12-13)+2\cdot (2+3)-3\cdot (3+2)=-(-1)+2\cdot 5-3\cdot 5=1+10-15=-4$.
Regneteknikkene vi har sett på blir som nevnt avgjørende ved bokstavregning, og vi viser derfor også hvordan vi kan regne dette ut ved å løse opp parenteser:

$-(12-13)+2\cdot (2+3)-3\cdot (3+2)=-12+13+4+6-9-6=-4$.

Legg merke til hvordan vi endrer tegnene og løser opp parentesene. Vi får samme resultat med begge teknikkene.

Eksempel 6

Regn ut $(2-3)(2+3)$.

Liten merknad: Vi har her ikke skrevet multiplikasjonstegn mellom parentesene. Det er vanlig å ikke ta det med i slike tilfeller.

Vi kan som første alternativ regne ut det som står inni parentesene, og får:

$(2-3)(2+3)=(-1)\cdot 5=-5$.

Men vi kan jo også først multiplisere alle leddene i den ene parentesen med leddene i den andre:
 
$(2-3)(2+3)=2\cdot 2+2\cdot 3-3\cdot 2-3\cdot 3=4+6-6-9=4-9=-5$.