Andre kvadratsetning

Den andre kvadratsetningen er et uttrykk for produktet av differansen mellom to tall.

La oss se regne ut ${(a-b)}^2$. Husk at $a(-b)=(-b)a=-ab$ og $(-b)(-b)=b^2$.

${(a-b)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$ 

Utregningen gir oss at

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

Akkurat dette kalles andre kvadratsetning!   

Eksempel

La oss se at dette stemmer når $a$ og $b$ er tall.

La $a=5$ og $b=-3$ . Vi setter inn for $a$ og $b$ i ${(a-b)}^2$, og får:

${(a-b)}^2={(5-(-3\left)\right)}^2={(5+3)}^2=8^2=64$ 

Vi setter inn for a og b i $a^2-2ab+b^2$, og ser at resultatet blir det samme:

 $a^2-2ab+b^2=5^2-2\cdot 5\cdot (-3)+{(-3)}^2=25+2\cdot 15+9=64$ 

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

Nå skal vi finne arealet til det blå kvadratet på to ulike måter. Først kan vi se på arealet som produktet av høyden og lengden som i et kvadrat er like lange. Det blå kvadratet har sidelengder $a-b$. Arealet til kvadratet er ${(a-b)(a-b)=(a-b)}^2$.

Den andre måten å finne arealet av det blå kvadratet er å først finne arealet til hele det store kvadratet og så trekke fra arealene til lilla rektangler og det røde kvadratet. Arealet av det store kvadratet er lik $a^2$. Hvert lilla rektangel har areal lik $b(a-b)$. Det røde kvadratet har areal lik $b^2$. Da er arealet til det blå kvadratet lik

$a^2-2b(a-b)-b^2=a^2-2ab+2b^2-b^2=a^2-2ab+b^2$.

Nå ser vi at vi har funnet arealet av det samme kvadratet på to ulike måter, men det er fortsatt akkurat det samme arealet. Derfor må de to uttrykkene være like,

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

Det er jo akkurat den andre kvadratsetningen!