Første kvadratsetning

Første kvadratsetning beskriver hvordan vi kan skrive summen av to tall multiplisert med seg selv.

La oss regnet ut ${(a+b)}^2$.

${(a+b)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$ 

Uten mellomregningen har vi at

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Dette kalles den første kvadratsetningen.

Eksempel

I eksempelet nå viser vi at likheten stemmer når vi bruker tall i stedet for $a$ og $b$.

La $a=5$ og $b=-3$. Da er

${(a+b)}^2={(5+(-3\left)\right)}^2={(5-3)}^2=2^2=4$ 

$a^2+2ab+b^2=5^2+2\cdot 5\cdot (-3)+{(-3)}^2=25-30+9=4$ 

Vi får samme resultat akkurat slik første kvadratsetningen sier vi skal!

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

En grunn til å kalle dette første kvadratsetning er at for positive tall $a$ og $b$, tolkes ${(a+b)}^2$ som arealet av et kvadrat med sidelengde $a+b$. Arealet til dette kvadratet kan vi finne på to måter. Først kan vi si at arealet av kvadratet er produktet av lengden og høyden,
$(a+b)(a+b)={(a+b)}^2$.

Men vi kan også få arealet av kvadratet ved å legge sammen arealene til det oransje kvadratet, det blå kvadratet og de to grønne rektanglene.

• Areal av oransje kvadrat: $a\cdot a=a^2$.
• Areal av blå kvadrat: $b\cdot b=b^2$. 
• Areal av grønt rektangel: $a\cdot b$.

Legger vi sammen de fire arealene får vi

$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$.

Begge uttrykkene,

${(a+b)}^2$

og

$a^2+2ab+b^2$,

står for det samme arealet og derfor er ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$. Men dette er jo første kvadratsetning!