Fortegnslinja 2 - to eksempler

Eksempel 1

Oppgave: Tegn fortegnslinje for funksjonen $f\left(x\right)=x^2-2x$.

Løsning:

1. Vi finner alle
   Nullpunkt

   

   Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

    

   nullpunktene
   , altså alle løsninger av $f\left(x\right)=0$.

• $x^2-2x=0$ betyr at $x\left(x-2\right)=0$.
• Vi finner løsningene $x=2$ og $x=0$ enten ved å bruke
  abc-formelen

  abc-formelen sier at en likning på formen $a{x}^2+bx+c=0$ har løsningene $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

  abc-formelen
  , eller ved å se på faktoriseringen over.

2. $f\left(x\right)$ er definert på hele tallinjen og har ingen bruddpunkter.
3. Vi finner fortegnet til $f\left(x\right)$ mellom nullpunktene ved å sette inn en vilkårlig verdi innen hvert intervall:

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2-2\left(-1\right)=3$         $\Rightarrow$        positiv når $x<0$

$f\left(1\right)=1^2-2\cdot \left(1\right)=-1$              $\Rightarrow$        negativ når $0<x<2$

$f\left(3\right)=3^2-2\cdot \left(3\right)=3$                $\Rightarrow$        positiv når $x>2$

4. Vi tegner fortegnslinja:

Eksempel 2

Oppgave: La $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ for $x\in \left[-2,3\right]$.

Løsning:

1. Funksjonen er aldri null.
2. $f\left(x\right)$ er ikke definert i $0$ (vi kan ikke dele på null) og dette er dermed det eneste kritiske punktet til funksjonen. Funksjonen er definert fram til, men ikke i null. Dermed skriver vi >< i null. Endepunktene er $-2$ og $3$ og funksjonen er definert i disse punktene.
3. Vi velger oss $-1$ i det første intervallet $\left[-2,0\right)$ og finner $f\left(-1\right)=-1$. Vi velger oss $+1$ i intervallet $\left(0,3\right]$ og finner $f\left(1\right)=1$.
4. Vi tegner: