Topp- og bunnpunkter

Et toppunkt for en funksjon $f\left(x\right)$ er et punkt $a$ i definisjonsmengden der funksjonsverdien $f\left(a\right)$ er større enn $f\left(x\right)$ i alle nabopunkter, altså alle punkter i et intervall rundt $a$.

Et bunnpunkt for en funksjon $f\left(x\right)$ er et punkt $a$ der funksjonsverdien $f\left(a\right)$ er mindre enn $f\left(x\right)$  i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt . Ekstremalpunkter er en fellesbetegnelse på topp- og bunnpunkter til en funksjon.

Vi skiller mellom lokale og globale ekstremalpunkter. Et globalt toppunkt er et punkt $a$ der funksjonsverdien $f\left(a\right)$ er høyere enn alle andre funksjonsverdier av $f$ på hele definisjonsområdet. Et lokalt toppunkt er, som navnet indikerer, en topp lokalt på grafen. Det betyr at hvis du ser på bare en del (som inneholder punktet), så har punktet høyere funksjonsverdi enn alle andre funksjonsverdier i den delen.

Tilsvarende gjelder lokale og globale bunnpunkter.

Begrepene toppunkt og bunnpunkt brukes også ofte: Hvis $f$ har et (lokalt) maksimum i $x=a$, har grafen et (lokalt) toppunkt i $(a,f\left(a\right))$, og tilsvarende med bunnpunkt.

Figur 1 under illustrerer forskjellen mellom lokale og globale ekstremalpunkter. Legg merke til at alle globale ekstremalpunkter også er lokale.

I praksis bruker vi sjelden definisjonen over når vi skal regne ut ekstremalpunktene til en funksjon. I stedet drar vi nytte av det vi gjorde i forrige seksjon. Der så vi nemlig at grafen til $f$ var voksende i intervaller der $f\prime \left(x\right)\ge 0$, og avtagende i intervaller der $f\prime \left(x\right)\le 0$. Dette betyr at i punkter der $f\prime \left(x\right)$ skifter fortegn, flater grafen ut og gir enten et topp- eller bunnpunkt. Mer presist:

Dersom $f\prime \left(a\right)=0$ og $f\prime \left(x\right)$ ikke skifter fortegn i $a$, har vi det vi kaller et terrassepunkt. Topp-, bunn- og terrassepunkter er altså de eneste punktene på en graf der tangenten kan være horisontal (se figuren under).

Eksempel

Oppgave. Bestem de lokale maksimums- og minimumspunktene til funksjonen $f\left(x\right)=x^3-\frac{1}{2}{x}^2-4x+1$ og undersøk om noen av dem er globale.

Løsning.

Vi finner først den deriverte: $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-x-4$

Fortegnslinjen ser slik ut:

Den forteller at $f\prime \left(x\right)$ er positiv fram til $x=-1$, og negativ etter. Punktet $x=-1$ er derfor et lokalt maksimumspunkt. Tilsvarende har vi et lokalt minimumspunkt når $x=\frac{4}{3}$. Ingen av disse er imidlertid globale, fordi $f\left(x\right)$ går mot uendelig når $x\to \infty$, og mot minus uendelig når $x\to -\infty$.