Krumningsegenskaper

De matematiske uttrykkene vi skal bruke om dette, er konveks og konkav:

Vi ønsker å finne krumningsegenskapene ved regning. Ikke minst ønsker vi å finne punktet der grafen skifter mellom å være konveks og konkav. Dette punktet kaller vi vendepunktet.

Akkurat som den deriverte er utslagsgivende for monotoniegenskapene til $f$, er det den annenderiverte som avgjør krumningen til $f$:

Vi finner som regel vendepunktet ved å sette $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$.

Huskeregel: Hvis $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ er positiv, får vi et smil :), men hvis $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ er negativ, får vi en sur munn :(.

Eksempel

Oppgave. Finn ut hvor funksjonen f er konveks og konkav, når

 $f\left(x\right)=\frac{1}{36}{x}^4-\frac{1}{6}{x}^3+2.$ 

Løsning. Vi begynner med å derivere to ganger:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{9}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2,$ 

 $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2-x\mathrm{.}$ 

Vi bruker teoremet over som forteller oss at krumningen er avhengig av om den annenderiverte $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ er positiv eller negativ. Vi lager derfor fortegnslinja til $f\text{'}\text{'}$.

Vi faktoriserer utrykket ved å trekke ut $x$ og får

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2-x=x\left(\frac{1}{3}x-1\right)$.

Så kan vi enkelt lage fortegnslinja ved å kombinere de to faktorene:

Vi leser av at den annenderiverte er positiv, $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ , på intervallene $\left(-\infty ,0\right)$ og $\left(3,\infty \right)$. Grafen er altså konveks i disse intervallene. På intervallet $\left(0, 3\right)$ er den annenderiverte negativ, og følgelig er grafen konkav her. Grafen under bekrefter det vi har funnet.

Vendepunktene finner vi nå ved å se på fortegnslinja når $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ skifter fortegn. Vi ser at dette skjer i $x=0$ og $x=3$, så dette er vendepunktene våre.

Grafen til f(x).