Monotoniegenskaper

Jo, at når $x$ øker, så øker også verdien $f\left(x\right)$. Dersom $f\left(x\right)$ blir mindre når $x$ øker, er det naturlig å si at funksjonen er avtagende. Vi utbroderer dette til en formell definisjon:

 Ifølge denne definisjonen er for eksempel funksjonen $f\left(x\right)=1$ voksende i hele $ℝ$, men ikke strengt voksende noe sted.

I praksis er det som oftest vanskelig å bestemme hvor en funksjon vokser og avtar ut fra denne definisjonen. Heldigvis kan vi bruke den deriverte til dette! Den deriverte av funksjonen $f\left(x\right)$ i et punkt $a$ er stigningen til $f\left(x\right)$ i dette punktet. Hvis funksjonen vokser, er stigningen positiv, men hvis funksjonen synker er den stigningen negativ. Vi oppsummerer i følgende teorem.

Bevisskisse. Husk den geometriske tolkningen av den deriverte: I hvert punkt $x$ er $f\prime \left(x\right)$ lik stigningstallet til tangenten. Siden tangenten i et punkt er tilnærmet lik grafen i nærheten av tangeringspunktet, vil grafen og tangenten alltid peke i samme retning der. Dette betyr at der $f\prime \left(x\right)$ (altså stigningstallet til tangenten) er positiv, vil tangenten peke oppover, og da vil grafen vokse. På samme måte avtar grafen der $f\prime \left(x\right)$ er negativ. Dette er akkurat det teoremet sier.

En konsekvens av teoremet over er at vi kan bestemme monotoniegenskapene til $f$ ved å tegne fortegnslinja til $f\prime \left(x\right)$.

Eksempel

Bestem ved regning hvor funksjonen til $f\left(x\right)=x^3-\frac{1}{2}{x}^2-4x+1$ vokser og avtar.

Vi bruker teoremet over og vil dermed finne ut når den deriverte $f\text{'}\left(x\right)$ er positiv og negativ.

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-x-4$.

Vi tegner fortegnslinja til den deriverte ved først å finne nullpunktene til $f\text{'}\left(x\right)$ ved hjelp av

$x=\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-4\right)}}{2\cdot 3}=\frac{4}{3}\vee -1$

Nullpunktene er $x=\frac{4}{3}$ og $x=-1$.

Nå vil vi bare finne ut hvilken verdi funksjonen har mellom nullpunktene. Vi velger en verdi i hvert av intervallene $(-\infty ,-1),(-1,\frac{4}{3})$ og $(\frac{4}{3},\infty )$:

Fortegnslinja til $f\prime \left(x\right)$ ser du under. Vi ser at $f$ er voksende på $(-\infty ,-1)$, avtagende på $(-1,\frac{4}{3})$ og voksende på $(\frac{4}{3},\infty )$. Når vi sammenligner med grafen, ser vi at dette stemmer bra.

Grafen: