Kjerneregelen

Vi vil derivere utrykket  $f\left(x\right)={\left(x^2+\cos \left(x\right)\right)}^2$. Da må vi bruke kjerneregelen. Den bruker vi for funksjoner som kan oppfattes som sammensatte, det vil si at vi kan tenke på dem som en funksjon inni en annen funksjon.

Her for eksempel kan vi tenke oss at vi har en funksjon $u\left(x\right)=x^2+\cos \left(x\right)$ inni en annen funksjon $g\left(u\right)$. Da blir $f\left(x\right)=g\left(u\left(x\right)\right)={\left(x^2+\cos \left(x\right)\right)}^2$.

Vi kaller $g\left(u\right)$ den ytre funksjonen og $u\left(x\right)$ kjernen eller den indre funksjonen.

Kjerneregelen er som følger:

Strategi for bruk av kjerneregelen:

1. Finn en kjerne/en indre funksjon. Du leter etter et utrykk som er slik at hvis du erstatter det med $u$, får du et utrykk du vet hvordan du skal derivere.

Eksempler:

2. Så deriverer vi kjernen/den indre funksjonen, $u(x)$, og den ytre funksjonen, $g(u)$, for seg.

 Eksempel:

3. Til slutt multipliserer vi sammen den deriverte av kjernen, $u\text{'}\left(x\right)$, og den deriverte av den ytre funksjonen, $g\text{'}\left(u\right)$, og setter inn utrykket for $u$ igjen.

Eksempel:

La oss ta eksempelet fra 2. med $f\left(x\right)=\sqrt{\ln x}$. Vi har kjernen $u\left(x\right)=\ln x$, og ytre funksjon $g\left(u\right)=\sqrt{u}$.Vi får:

$f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(u\right)\cdot u\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{1}{x}=\underset{\_}{\underset{\_}{\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}}}$