Definisjon av den deriverte
Vi har kommet fram til at momentan vekstfart til en funksjon i , er stigningstallet til tangenten til funksjonen i . Tangenten kan finnes grafisk eller med lommeregner, men dette er jo håpløst unøyaktig! Som gode matematikere vil vi helst ha en matematisk metode for å finne dette stigningstallet.
Vi er ønsker å finne en metode for å regne ut momentan vekstfart for i et punkt . Vi starter med to punkter og på x-aksen og tegner
Sekant
![Sekant](/aim/matematikk/files/3/8/3/7f56c0492352bf9eaeefb5312200a518d2664871bd/3837f56c0492352bf9eaeefb5312200a518d2664871bd.jpg/Scale?geometry=150>x150>)
En linje som skjærer en kurve. En korde er en del av en sekant. En sekant er ikke det samme som en tangent.
Stigningstall
![Stigningstall](/aim/matematikk/files/c/d/4/0905562567fcb9ecf17d9a1e00510518d239f8eca0/cd40905562567fcb9ecf17d9a1e00510518d239f8eca0.jpg/Scale?geometry=150>x150>)
Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.
Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.
Gjennomsnittlig vekstfart
En funksjon har gjennomsnittlig vekstfart
mellom og . Dette er gjennomsnittlig økning i y-retning per økning i x-retning på intervallet.
Hvis vi lar bli mindre og mindre, så nærmer sekanten seg mer og mer tangenten, fordi punktet kommer nærmere og nærmere .
Stigningstallet til tangenten blir grenseverdien til stigningen til sekanten når går mot null:
Hvis denne grensen eksisterer kaller vi den den deriverte av i .
Definisjon
Den deriverte til i er .
Det er mange notasjoner for den deriverte (kjært barn har mange navn!). Hvis , kan skrive den deriverte som
Eksempel 1
Oppgave. Finn den deriverte av funksjonen .
Løsning.
Eksempel 2
Oppgave. Finn den deriverte av funksjonen .
Løsning.
Geometrisk eksempel
Den deriverte er selv en funksjon, som vi har sett: Man tegner linja som i hvert punkt består av grenseverdien i definisjonen over. I de to GeoGebra-arkene under kan du prøve dette selv, og se på to forskjellige funksjoner hvordan den deriverte er bygget opp. Hvis du flytter punktet A langs funksjonen vil du se at punktet B, som angir den deriverte, flytter seg. Om du så høyreklikker på B og velger "trace on" vil du kunne flytte A fram og tilbake og få fram den deriverte til funksjonen.
Derivasjon 1 | Derivasjon 2 |
Del på Facebook
Lynkurs 11.-13.trinn
Derivasjon
Består av:
- Introduksjon til derivasjon – gjennomsnittlig og momentan vekstfart
- Definisjon av den deriverte
- Deriverbarhet
- Derivasjonsregler
- Kjerneregelen
- Kjerneregelen - tre eksempler
- Derivasjon av sammensatte uttrykk
- Å finne tangenten - introduksjon
- Ettpunktsformelen og likning for tangentlinjen
- Høyere ordens deriverte
- Derivasjon av vektorfunksjoner 1 - Parameterframstilling
- Derivasjon av vektorfunksjoner 2 - vektorfunksjoner
- Derivasjon av vektorfunksjoner 3
Begrep
-
Momentan vekstfart
Den momentane vekstfarten til funksjonen i et punkt , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.