Derivasjon av sammensatte uttrykk

MatRIC: Derivasjon av sammensatte funksjoner

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Eksempel 1

Oppgave. Finn den deriverte av

$f\left(x\right)=x^2\cdot \left(\frac{5}{4}\right)\cdot \cos \left(2x\right)$.

Løsning.

1. Vi ser at $\left(\frac{5}{4}\right)$ er en konstant

og vi kan derfor bruke regel 12 fra artikkelen om derivasjonsregler: $\left[k\cdot u\right]\text{'}=k\cdot u\text{'}$ der $k$ er en konstant og $u$ en funksjon av $x$. Vi trekker ut faktoren slik:  $\left[x^2\left(\frac{5}{4}\right)\cos \left(2x\right)\right]\text{'}=\left(\frac{5}{4}\right)\left[x^2\cos \left(2x\right)\right]\text{'}$, og fokuserer videre på å derivere $\left[x^2\cos \left(2x\right)\right]$.

2. Her gjenkjenner vi at vi har to utrykk, $x^2$ og $\cos \left(2x\right)$ som er multiplisert sammen. Vi kan da bruke regel 15 for derivasjon av et produkt: $\left[s\cdot t\right]\text{'}=s\text{'}t+st\text{'}$, der $u$ og $v$ er funksjoner av $x$.

La $s=x^2$ og $t=\cos \left(2x\right)$.

Vi må finne $s\text{'}$ og $t\text{'}$, og så kan vi sette det hele sammen ved regelen for derivasjon av et produkt.

Først bruker vi regelen for derivasjon av potenser på $s$ og får

$s\text{'}=2x$.

For å derivere $t=\cos \left(2x\right)$, må vi bruke kjerneregelen. Vi må finne en kjerne $u\left(x\right)$ slik at $v=g\left(u\left(x\right)\right)$. Vi velger oss $u\left(x\right)=2x$ som kjerne og $g\left(u\right)=\cos \left(u\right)$ som ytre funksjon.

Vi har

$u\text{'}\left(x\right)=\left[2x\right]\text{'}=2$,  

$g\text{'}\left(u\right)=\left[\cos \left(u\right)\right]\text{'}=-\sin \left(u\right)$. 

Så vi får

$t\text{'}=g\text{'}\left(u\right)\cdot u\text{'}\left(x\right)=-\sin \left(u\right)\cdot 2=-2\sin \left(2x\right)$.

3. Nå har vi funnet $s\text{'}$ og $t\text{'}$ og kan derivere utrykket fra punkt 2:

$\left[s\cdot t\right]\text{'}=s\text{'}t+st\text{'}=2x\cdot \cos \left(2x\right)+x^2\left(-2\cos \left(2x\right)\right)=2x\cdot \cos \left(2x\right)-2x^2\sin \left(2x\right)$.

4. Nå er vi klare til å derivere hele utrykket.

 $f\left(x\right)=x^2\cdot \left(\frac{5}{4}\right)\cdot \cos \left(2x\right)$,

 $f\text{'}\left(x\right)=\frac{5}{4}\cdot \left(2x\cdot \cos \left(2x\right)-2x^2\sin \left(2x\right)\right)=\frac{5x}{2}\left(\cos \left(2x\right)-x\cdot \sin \left(2x\right)\right)$.

Det vi nå har gjort er å starte ytterst, finne «delene» i utrykket, i dette tilfellet først en konstant faktor, så et produkt. Vi deriverte så delene hver for seg og satte dem sammen til slutt. Dette blir lettere og lettere jo flere ganger man gjør det.

 

Eksempel 2

Oppgave. Finn den deriverte av

$f\left(x\right)=\frac{\sin \left(3x+2\right)e^{2x}}{2\cdot 5^x}$.

Løsning. Vi trekker først ut den konstante faktoren $\frac{1}{2}$ og får:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \left(3x+2\right)e^{2x}}{5^x}$.

Siden $\frac{1}{2}$ er en konstant faktor, kan vi la den stå og derivere resten av utrykket, på samme måte som i eksempel 1.

Vi gjenkjenner at det vi skal derivere nå er et brøkutrykk, altså en kvotient, $\frac{u}{v}$, der $u=\sin \left(3x+2\right)\cdot e^{2x}$ og $v=5^x$.

For brøksutrykk/kvotienter har vi regelen

            $\left[\frac{u}{v}\right]\text{'}=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2}$.

Vi vil derfor finne den deriverte av $u$ og $v$.

Vi begynner med $u=\sin \left(3x+2\right)e^{2x}$. Her har vi et produkt av $\sin \left(3x+2\right)$ og $e^{2x}$, så vi vil bruke produktregelen for å finne $u\text{'}$. Vi bruker kjerneregelen på hver av faktorene.

For $\sin \left(3x+2\right)$ er kjernen $3x+2$ og vi får $\left[\sin \left(3x+2\right)\right]\text{'}=3\cdot \cos \left(3x+2\right)$. For $e^{2x}$ er kjernen $2x$ og vi får $\left[e^{2x}\right]\text{'}=2e^{2x}$. Nå kan vi bruke produktregelen for derivasjon:

            $u\text{'}=\left[\sin \left(3x+2\right)\cdot e^{2x}\right]$

            $=3\cos \left(3x+2\right)\cdot e^{2x}+\sin \left(3x+2\right)\cdot 2\cdot e^{2x}$

            $=e^{2x}\cdot \left(3\cos \left(3x+2\right)+2\sin \left(3x+2\right)\right)$.

 For $v=5^x$bruker vi regelen for derivasjon av eksponentialfunksjoner og finner:

$v\text{'}=\left[5^x\right]\text{'}=\ln \left(5\right)\cdot 5^x$.

Til sammen har vi

            $f\text{'}\left(x\right)=\left[\frac{1}{2}\cdot \frac{u}{v}\right]\text{'}=\frac{1}{2}\cdot \frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2}$

            $=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left[e^{2x}\left(3\cos \left(3x+2\right)+2\sin \left(3x+2\right)\right)\right]5^x-\sin \left(3x+2\right)e^{2x}\cdot \ln \left(5\right)5^x}{{\left(5^x\right)}^2}$

            $=\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{2x}{5}^x\left(3\cos \left(3x+2\right)+2\sin \left(3x+2\right)-\ln \left(5\right)\sin \left(3x+2\right)\right)}{5^{2x}}$   

            $=\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{2x}\left(3\cos \left(3x+2\right)+2\sin \left(3x+2\right)-\ln \left(5\right)\sin \left(3x+2\right)\right)}{5^x}$.