Ettpunktsformelen og likning for tangentlinjen

Når vi kjenner den deriverte til en funksjon, er det en enkel sak å finne likningene for 

til grafen. Det eneste vi trenger, er den gode gamle ettpunktsformelen:

 

Teorem. Ettpunktsformelen La $l$ være linja som går gjennom punktet $(x_0,\hspace{0.17em}{y}_0)$ og har stigningstall $a$. Likningen for $l$ er da: $y-y_0=a(x-x_0)$.

Bevis. La $(x,\hspace{0.17em}y)$ være et vilkårlig punkt på $l$, forskjellig fra $(x_0,\hspace{0.17em}{y}_0)$ (se figuren under). Siden stigningstallet til en linje er lik $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$, får vi sammenhengen

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=a,$

det vil si

$\frac{y-y_0}{x-x_0}=a\mathrm{.}$

Ganger vi opp med nevneren $(x-x_0)$, får vi formelen i teoremet over.

La oss nå vende tilbake til graftangenter. Anta at $f$ er en deriverbar funksjon, og la $(c,\hspace{0.17em}f(c\left)\right)$ være et punkt på grafen. Vi skal finne tangenten i dette punktet. Men stigningstallet til tangenten er jo verdien av den deriverte! Vi skal altså ha tak i likningen for linja som går gjennom punktet $(c,\hspace{0.17em}f(c\left)\right)$, og har stigningstall $f\text{'}\left(c\right)$. Svaret følger rett fra ettpunktsformelen:

Teorem. Likning for tangentlinje La $f\left(x\right)$ være deriverbar i punktet $x=c$. Tangenten til grafen til $f$ i punktet $(c,\hspace{0.17em}f(c\left)\right)$ er da gitt ved likningen $y-f\left(c\right)=f\text{'}\left(c\right)(x-c)$

 

Eksempel

Oppgave. Finn tangenten til grafen til $f\left(x\right)=e^x$ i punktene $(0,\hspace{0.17em}f(0\left)\right)$ og $(1,\hspace{0.17em}f(1\left)\right)$.

Løsning. Vi setter rett inn i formelen i teoremet over, med $f\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)=e^x$. I det første punktet er $c=0$, og vi får tangentlikninga

$y-e^0=e^0(x-0)\hspace{0.17em}\iff y=x+1$.

I det andre punktet har vi $c=1$, og vi får tangenten

 

$y-e^1=e^1(x-1)\iff y=ex$.

 

(Sjekk mellomregningene selv hvis du er usikker.)