Når x går mot uendelig

Ta for eksempel uttrykket $\frac{1}{x}$. Når x går mot pluss eller minus uendelig, vil brøken gå mot null. Vi skriver dette som

 $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$.

Generelt sier vi at grenseverdien $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)$ eksisterer og er lik $L$, dersom f(x) nærmer seg $L$ når $x\to +\infty$. Tilsvarende med $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

For å regne ut grenseverdier av typen

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

der $P\left(x\right)$ og $Q\left(x\right)$ er polynomer, bruker vi følgende triks: Vi dividerer oppe og nede i brøken med den høyeste potensen av $x$ som forekommer i uttrykket. Deretter benytter vi oss av at

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^m}{x^n}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^{n-m}}=0$ når $m$ og $n$ er heltall og $m<n$.

Eksempel

Oppgave. Bestem grenseverdien $\underset{z\to \pm \infty }{\lim }\frac{{2x}^3-1}{{3x}^2+x-4}$ hvis den eksisterer.

Løsning. Den høyeste potensen av $x$ i uttrykket er $x^3$. Vi får dermed:

 $\underset{z\to \pm \infty }{\lim }\frac{{2x}^3-1}{{3x}^2+x-4}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{{2x}^3}{x^3}-\frac{1}{x^3}}{\frac{{3x}^2}{x^3}+\frac{x}{x^3}-\frac{4}{x^3}}\to \frac{2-0}{0+0-0}$ 

Siden nevneren går mot null, mens telleren går mot 2, blir resultatet at uttrykket går mot uendelig. Grenseverdien eksisterer derfor ikke.