n-te røtter

$2^2=4$ gir at $\sqrt{4}=2$.

$2^3=8$ gir at  $\sqrt[3]{8}=2$. 

$2^4=16$. Tallet $2$ kaller vi fjerderoten av 16. Vi skriver $\sqrt[4]{16}$. Nå er også ${(-2)}^4=16$. Vi kaller likevel ikke $-2$ for fjerderoten av $16$, av samme grunner som vi ikke kaller $-2$ for kvadratroten av $4$.

Vi definerer fjerderøtter helt tilsvarende som kvadratrøtter:

Reglene for fjerderota av et produkt og en kvotient er akkurat som for kvadratrot, og gjelder kun for positive tall:

$\sqrt[4]{a\cdot b}=\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{b}\sqrt[4]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{b}}$
    

Eksempel 1

Regn ut $\sqrt[4]{8,1\cdot {10}^5}$.

Vi deler opp og får

$\sqrt[4]{8,1\cdot {10}^5}=\sqrt[4]{81\cdot {10}^4}=\sqrt[4]{3^4\cdot {10}^4}=\sqrt[4]{3^4}\cdot \sqrt[4]{{10}^4}=3\cdot 10=30$.    

Resultat:

$\sqrt[4]{8,1\cdot {10}^5=30}$.     

Eksempel 2.

Regn ut fjerderota $\sqrt[4]{\frac{x^8}{625}}$.

Vi legger merke til at $625={25}^2={\left(5^2\right)}^2=5^{2\cdot 2}=5^4$, og dermed blir

$\sqrt[4]{\frac{x^8}{625}}=\frac{\sqrt[4]{{\left(x^2\right)}^4}}{\sqrt[4]{5^4}}=\frac{x^2}{5}$.
     

Det er vel nå lett å tenke seg hva en femtert må være? Tilsvarende som for en tredjert er femteroten definert for alle tall, ikke bare de positive. Femterøtter følger akkurat de samme regler som tredjerøtter.

Vi får et mønster:
En sjetterot er definert helt tilsvarende som kvadrat- og fjerderot. Vi kan definere røtter av så høy orden vi ønsker. Kvadratrot har orden 2, kubikkrot har orden 3, fjerderot har orden 4, osv.

n-te røtter

Slik kan vi fortsette. Hvis $a=b^n$, sier vi at $b$ er $n$-te roten til $b$.

Hvis  $n$ er et partall, må vi forutsette $a\ge 0$, og da skal vi ha $\sqrt[n]{a}=\pm x$  slik at $x$ er positiv.

Hvis $n$ er et oddetall, er $\sqrt[n]{a}$ definert for alle tall $a$ og $\sqrt[n]{a}$ er positiv eller negativ avhengig av om $a>0$ eller $a<0$.


Regnereglene for produkt og kvotient gjelder selvsagt også for $n$-te røtter:

$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
 

Eksempel 3.

Regn ut $\sqrt[5]{-\frac{32}{243}}$.


Vi får $\sqrt[5]{-\frac{32}{243}}=\sqrt[5]{\frac{-32}{243}}=\sqrt[5]{\frac{{(-2)}^5}{3^5}}=\frac{\sqrt[5]{{(-2)}^5}}{\sqrt[5]{3^5}}=-\frac{2}{3}$.