Rask gjennomgang av regneregler for potens og røtter

Her finner du en oppsummering av reglene for potensregning samt sammenhengen med røtter.

Definisjonen av potenser og røtter gir oss følgende fine egenskaper ved potenser:

Teorem

La a og b være reelle tall, og m og n naturlige tall. Da gjelder:

1) $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$

2) $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, (m > n)$

3) ${(a^{m})}^{n} = {(a^{n})}^{m} = a^{m \cdot n}$

4) $a^{m} b^{m} = {(a b)}^{m}$

5) $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$

Bevis for 1):

Fra definisjonen av potenser har vi at $a^{m} = \overset{m faktorer}{a \cdot a \cdot \cdot \cdot a}$ og dette gir oss at

a^{m} a^{n} = \overset{m faktorer n faktorer}{a \cdot a \cdot \cdot \cdot a \cdot a \cdot \cdot \cdot a} = a^{m + n}

Flere definisjoner og sammenhengen med røtter

Teoremet over gir en naturlig måte å utvide definisjonen av potenser slik at vi kan tillate andre tall enn bare de naturlige tallene som eksponenter. Vi kan for eksempel spørre oss: Hvis det var noe som het $a^{0}$ , hva skulle dette være for noe? La oss anta at regnereglene i teoremet fortsatt gjelder når $m, n \leq 0$ . Da får vi, ved å sette $m = 0$ i punkt 1), at

a^{0} \cdot a^{n} = a^{0 + n} = a^{n}

Deler vi på $a^{n}$ på begge sider, står vi igjen med $a^{0} = 1$ .
På samme måte kan vi undersøke hva $a$ opphøyd i et negativt heltall skulle være, ved å bruke punkt 2): Setter vi $m = 0$ her, får vi at

\frac{a^{0}}{a^{n}} = a^{0 - n} = a^{- n} .

Dersom vi holder fast på at $a^{0} = 1$ , betyr dette altså $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Til slutt ser vi på uttrykket $a^{\frac{1}{m}}$ , der $m \in N$ . Hvis noe slikt skal gi mening og samtidig respektere teoremet, gir punkt 3) at vi må ha

{(a^{\frac{1}{m}})}^{m} = a^{\frac{1}{m} \cdot m} = a

Men dette vil si at $a^{\frac{1}{m}}$ tilfredsstiller likningen i definisjonen av m-te-roten av $a$ ! Motivert av det vi nettopp har diskutert, lager vi følgende definisjon:

Definisjon La $m$ være et naturlig tall. Da er 

a) $a^{0} = 1$ for alle $a \in ℝ, a \neq 0.$ Uttrykket $0^{0}$ er ikke definert.

b) $a^{- m} = \frac{1}{a^{m}}$ for alle $a \in ℝ, a \neq 0.$

c) $a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a}$ for alle $a \in ℝ$ slik at $\sqrt[m]{a}$ er definert.

Mer generelt definerer vi for alle $a \geq 0$ og alle naturlige tall $m$ og $n$ :
d) $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}} .$

e) $a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{{(\sqrt[n]{a})}^{m}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}} .$

Dersom $n$ er odde, kan vi tillate negative $a$ i d) og e). Uttrykkene blir de samme.

Ved å studere definisjonen av en potens, har vi utvidet potensbegrepet til å gjelde også eksponenter som er brøker!

Det er også mulig å definere potensuttrykk der eksponenten er irrasjonal, for eksempel $2^{π}$ . Idéen er å betrakte følgen $2^{3}, 2^{3, 1}, 2^{3, 14}, 2^{3, 141}$ . . . , der eksponentene er rasjonale tall som blir stadig nærmere $π$ . Man kan vise at følgen nærmer seg et bestemt tall, som vi definerer til å være $2^{π}$ . Vi går ikke nærmere inn på detaljene her.

Vi oppsummerer potensreglene:

Potensregler La $a, b, m, n \in ℝ$ der $a, b \geq 0.$ Følgende regler gjelder der hvor uttrykkene er definert:
1) $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$	2) $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, (m > n)$	3) ${(a^{m})}^{n} = {(a^{n})}^{m} = a^{m \cdot n}$
4) $a^{m} b^{m} = {(a b)}^{m}$	5) $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$

Eksempler

Regn ut: a) $\sqrt[3]{5^{6}}$ b) $2^{- 10} \sqrt[\frac{1}{3}]{2^{4}}$ c) ${(\frac{\sqrt[4]{a^{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}}})}^{6}$

Løsning:

a) $\sqrt[3]{5^{6}} = 5^{\frac{6}{3}} = 5^{2} = 25$

b) $2^{- 10} \sqrt[\frac{1}{3}]{2^{4}} = 2^{- 10} {(2^{4})}^{\frac{1}{\frac{1}{3}}} = 2^{- 10} {(2^{4})}^{3} = 2^{- 10} 2^{12} = 2^{- 10 + 12} = 4$

c) Enten:

${(\frac{\sqrt[4]{a^{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}}})}^{6} = {(\frac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{2}{3}}})}^{6} = {(a^{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}})}^{6} = {(a^{\frac{1}{12}})}^{6} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

eller:

${(\frac{\sqrt[4]{a^{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}}})}^{6} = \frac{{(\sqrt[4]{a^{3}})}^{6}}{{(\sqrt[3]{a^{2}})}^{6}} = \frac{a^{\frac{3}{4} \cdot 6}}{a^{\frac{2}{3} \cdot 6}} = \frac{a^{\frac{9}{2}}}{a^{4}} = a^{\frac{9}{2} - 4} = \sqrt{a}$

Del på Facebook

Del på Facebook

Lynkurs 11.-13.trinn

Potenser og røtter

Består av:

Rask gjennomgang av regneregler for potens og røtter
Potenser med samme grunntall
Et produkt eller en potens som grunntall
Potenser med brøk som grunntall
Null og negative tall som eksponenter
Inger Christin forteller om potensregler
Potenser med rasjonale og reelle eksponenter
Kubikkrøtter
Kvadratrøtter
Regneregler for kvadratrøtter
n-te røtter
Sammenhengen mellom røtter og potenser
Tall på standardform