Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Potenser med brøk som grunntall

Hvordan regner vi med potenser hvis grunntallet er en brøk?

Brøk som grunntall og eksponenten er positiv

Vi skal først se på et eksempel der grunntallet er en brøk og eksponenten i potensen er positiv.

Eksempel


Vi starter med en brøk 12, og eksponent 5:

(12)5=12⋅12⋅12⋅12⋅12    

Husk at mutliplikasjon av brøker betyr å multiplisere teller med teller og nevner med nevner.

(12)5=12⋅12⋅12⋅12⋅12=1⋅1⋅1⋅1⋅12⋅2⋅2⋅2⋅2=1525=125(=132)

 

Vi kan igjen velge en tilfeldig brøk, ab som grunntall og en tilfeldig eksponent, n. Vi får

Vi ser at å opphøye en brøk i n er det samme som å opphøye både telleren og nevneren i n.

Regel
For enhver brøk ab og naturlig tall n, er (ab)n=anbn.

 

Brøk som grunntall og eksponenten er negativ

Hva skjer hvis grunntallet i potensen er en brøk og eksponenten er et negativt tall?

Eksempel

La oss se på følgende

 (52)−3=5−32−3 

Her har vi brukt regelen over. Husk at et negativt tall som eksponent betyr at vi kan gjøre om hele potensen til et brøk der den samme potensen med positiv eksponent er nevneren. 

5−3=153 

2−3=123

Vi setter brøkene inn og får at

 5.−32−3=153123 


Nå har vi en 

Brudden brøk

En brudden brøk har en brøk i teller eller nevner, eller i begge.

Eksempel: 235

brudden brøk,
en brøk i telleren og en brøk i nevneren. Hvis du ikke husker hvordan du regner med disse brøker, se lynkurset Brøker. Vi regner ut og får at

 153123=153⋅231=2353 


Det ser ut som om grunntallene har byttet plass og eksponenten har blitt positiv istedet for negativ.

 

La oss lage en regel. Vi viser det vi fant i eksemplet med to vilkårlige tall a og b at (ab)−n=(ba)n.

Vi har at (ab)−n=1(ab)n=1anbn.
     

Vi utvider denne brudne brøken med bn (multipliserer med bn over og under hovedbrøkstreken), og får at

1anbn=1⋅bnanbn⋅bn=bnan⋅bnbn=bnan=(ba)n
  

Regel

En brøk opphøyd i en negativ eksponent er lik den inverse brøken opphøyd i den samme positive eksponentent.

 (ab)−n=(ba)n 
Del på Facebook

Del på Facebook

Lynkurs 11.-13.trinn

Potenser og røtter

Består av:

Begrep

  • Brøk

    Brøk

    Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

    Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

  • Eksponent

    En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

    xn = x · x · x...· x, n ganger

  • Grunntall

    En potens består av et grunntall og en eksponent.

    Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

  • Negative tall

    Tall som er mindre enn null, kalles negative tall. Vi viser at tallet er negativt ved å sette — foran tallet.

    Eksempel: −3, som leses minus tre.

  • Nevner

    Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
    Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

    Eksempel : 37. Tallet 7 er nevneren.

  • Potens

    En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen xn, som leses x opphøyd i n-te.

    Eksempel: 43=4⋅4⋅4

  • Teller

    Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
    Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

    Eksempel: I brøken 59, er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.

Hopp over bunnteksten