Indirekte bevis/bevis ved motsigelse

Vi vil vise at en påstand P er sann. Da antar vi først ikke-P, altså at P ikke er sann. Vi viser så at ikke-P fører til en selvmotsigelse og fra dette slutter vi at P må være sann. Dette har vi fordi enten ikke-P eller P må være sann.

Men hva betyr det egentlig at noe er sant? Og hvorfor kan ikke noe være hverken sant eller usant? Mange har stilt seg disse spørsmålene, og selv om indirekte bevis er godtatt av et overveldende flertall, finnes det noen som ikke gjør det. Intuisjonismen er en retning innen matematisk filosofi som legger vekt på selvinnlysende sannheter og som forkaster bevis ved motsigelse. De vil dermed forsøke å finne bevis på andre måter. Som regel kan man føre et direkte bevis istedet, det er bare vanskeligere.

Eksempel

Vis at hvis $n^2$ er et oddetall, er $n$ også det.

Bevis:

Vi begynner med å anta det motsatte, altså at $n^2$ er et oddetall, men $n$ er et partall. Hvis $n$ er et partall, finnes det et heltall $k$, slik at $n=2k$. Men da får vi:

$n^2={\left(2k\right)}^2=2^2{k}^2=4k^2=2\left(2k^2\right)$.

Fra dette kan vi se at $n^2$ er delelig på $2$ og dermed er et partall. Men dette er en selvmotsigelse, fordi vi allerede har antatt at $n^2$ er et oddetall.

Siden vi ikke kan ha at $n$ er et partall, er $n$ et oddetall.