Implikasjon og ekvivalens

For å få en ryddig framstilling av slike resonnementer, bruker vi gjerne implikasjonspilen $\Rightarrow$, som i utsagnet

Implikasjonspilen betyr at det som står ved starten av pilen, medfører (eller impliserer) det som står ved slutten av pilen. Legg merke til at selv om en implikasjon er gyldig, som i eksemplet over, er det ikke sikkert det samme gjelder når vi snur pilen:

Ved første øyekast virker dette utsagnet også rimelig. Men det er ikke logisk gyldig. Det kunne for eksempel tenkes at noen spylte vann på bakken fra en slange!

Du synes kanskje at eksemplet over har lite med matematikk å gjøre? Dessverre er det fort gjort å gå i logiske "feller" i matematikken også. En typisk feilslutning er utsagnet


Dette er ikke sant. Det riktige er at $x^2=4$ medfører at $x$ er lik enten 2 eller -2. I dette tilfellet er imidlertid den motsatte implikasjonen gyldig:

Se nå på det logisk gyldige utsagnet

Her er den motsatte implikasjonen også riktig:

Når vi har implikasjon begge veier som i dette eksemplet, samler vi gjerne begge utsagnene til ett, ved å bruke ekvivalenspilen ⇔:

Symbolet $\iff$ leses "er ekvivalent med", eller "hvis og bare hvis".

Eksempler 

1. Hedda har førerkort $\Rightarrow$ Hedda er over 18 år.

2. Dyr er dødelige $\Rightarrow$ giraffer er dødelige.

3. $xy=0$  $\iff$ $x=0$ eller $y=0$.

4. $x=0$ $\Rightarrow$ $xy=0$.