Delbrøkoppspalting når røttene er like

Nå skal vi delbrøkoppspalte uttrykk der røttene $x_1$ , . . . , $x_n$ i nevneren ikke alle er forskjellige. Slike uttrykk kjennetegnes ved at noen av faktorene i nevneren opptrer med en eksponent større enn 1, som for eksempel i uttrykkene

1. $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$
2. $\frac{x-6}{x^2\left(x-2\right)}$
3. $\frac{x^2}{{\left(x+1\right)}^3{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}$

Generelt gjelder følgende regel:

Delbrøkoppspalting av uttrykkene i (1) ville dermed vært på formen

1) $\frac{1}{{(x+1)}^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{{(x+1)}^2}$

2)$\frac{x-6}{x^2(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-2}$

3) $\frac{x^2}{{\left(x+1\right)}^3{(x-\frac{1}{2})}^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{{(x+1)}^2}+\frac{C}{{(x+1)}^3}+\frac{D}{x-\frac{1}{2}}+\frac{E}{{(x-\frac{1}{2})}^2}$

Regningen for å finne konstantene $A$, $B$, ... følger akkurat samme mønster som tidligere, men nå kan vi ikke lenger bruke trikset med å sette inn røttene fra nevneren. Vi er nødt til å løse et likningssystem.

Eksempel

Oppgave. Finn $A$, $B$ og $C$ slik at

$\frac{x-6}{x^2\left(x-2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-2}$.

Løsning. Når vi multipliserer med fellesnevneren $x^2(x-2)$, står vi igjen med likheten

$x-6=Ax\left(x-2\right)+B\left(x-2\right)+C{x}^2$.

La oss først undersøke hva som skjer hvis vi prøver oss med metode 2 her, altså innsetting av de to røttene $x=0$ og $x=2$. Problemet er tydelig allerede før vi begynner: Vi har bare to lure verdier, mens det er tre ukjente som skal finnes! Prøv gjerne selv, så ser du at metoden gir deg verdien av $B$ og $C$ enkelt og greit, mens $A$ ikke avsløres.

I stedet lager vi et likningssystem. Vi grupperer høyresiden slik at like potenser av $x$ kommer sammen. Vi skriver om og får at

$x-6=\left(A+C\right)x^2+\left(-2A+B\right)x-2B$.

Ved å sammenligne koeffisientene på begge sider, får vi et likningssystem:

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}A+C=0\\ -2A+B=1\end{array}\\ -2B=-6\end{array}$

Den siste likningen medfører at $B=3$. Innsatt i den midterste gir dette $A=1$, som innsatt i den øverste likningen gir $C=-1$. Resultatet av delbrøkoppspaltingen blir

$\frac{x-6}{x^2\left(x-2\right)}=\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x-2}$.