Nullpunktsetningen – når går divisjonen opp?

Her skal vi se på et pent resultat som noen ganger gir oss svar på når en polynomdivisjon kommer til å gå opp eller ikke – før vi gjør divisjonen!

Først en enkel definisjon:

Definisjon. Delelige polynomer

Dersom polynomdivisjonen $P (x) : Q (x)$ går opp, sier vi at $P (x)$ er delelig med $Q (x)$ . Dette er det samme som at det finnes et polynom $S (x)$ slik at $P (x) = Q (x) S (x)$ .

Definisjonen gir oss dette fine teoremet:

Teorem. Nullpunktsetningen

La $P (x)$ være en polynomfunksjon og $a$ et tall. Da gjelder ekvivalensen

$P (x)$ er delelig med $x - a \Leftrightarrow P (a) = 0$ .

Beviset er nok mest for spesielt interesserte. For å se det, trykk på det.

Bevis

Vi må vise implikasjonene hver for seg.

$\Rightarrow :$ Anta at $P (x)$ er delelig med $x - a$ . Ifølge definisjonen over finnes det da et polynom $S (x)$ slik at $P (x) = (x - a) S (x)$ . Setter vi inn $x = a$ her, får vi at

$P (a) = (a - a) S (a) = 0$

Dette viser implikasjonen mot høyre.

$\Leftarrow :$ Anta nå at $P (a) = 0$ , og betrakt polynomdivisjonen $P (x) : (x - a)$ . Som vi snakket om i en tidligere seksjon finnes det et polynom $S (x)$ og et tall $R$ (fordi $x - a$ har grad 1), slik at

$\frac{P (x)}{x - a} = S (x) + \frac{R}{x - a}$ .

Ganger vi med $x - a$ på begge sider, gir dette at $P (x) = S (x) (x - a) + R$ . Men hvis vi nå setter inn $x = a$ og bruker antagelsen om at $P (a) = 0$ , får vi at:

$P (a) = S (a) (a - a) + R \Rightarrow R = 0$ .

Dermed må vi ha $P (x) = S (x) (x - a)$ , som betyr at $P (x)$ er delelig med $x - a$ . Dette viser implikasjonen mot venstre.

Eksempel

Nullpunktsetningen er uvurdelig når man skal faktorisere polynomer. Dette eksempelet er typisk.

Oppgave. La $p (x) = x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ . Vis at $p (- 1) = 0$ . Bruk dette til å faktorisere $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ i faktorer av første grad.

Løsning. Vi regner ut at $p (- 1) = {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 4 (- 1) - 4 = - 1 + 1 + 4 - 4 = 0$ . Ifølge nullpunktsetningen betyr dette at $p (x)$ er delelig med $x - (- 1)$ , altså $x + 1$ . Utfører vi polynomdivisjonen på vanlig måte, finner vi at

$(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) : (x + 1) = x^{2} - 4$ .

Dette gir faktoriseringen $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = (x + 1) (x^{2} - 4)$ . Ved konjugatsetningen er $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ , slik at den fullstendige faktoriseringen blir

$(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) = (x + 1) (x + 2) (x - 2)$ .

Del på Facebook

Del på Facebook

Lynkurs 11.-13.trinn

Polynomdivisjon

Består av:

Definisjon av et polynom
Polynomdivisjon - skritt for skritt
Tips til polynomdivisjon
Restpolynom
Flere eksempler på polynomdivisjon
Nullpunktsetningen – når går divisjonen opp?
Delbrøkoppspalting
Delbrøksoppspalting - et eksempel
Delbrøksoppspalting - et eksempel til
Delbrøkoppspalting når røttene er like