Flere eksempler på polynomdivisjon

Eksempel 1

Oppgave:

Utfør polynomdivisjonen $({2x}^2-8):(x+2)$, og bruk resultatet til å faktorisere ${2x}^2-8$.

Løsning:

Vi skriver ${2x}^2-8$ som ${2x}^2+0x-8$, og utfører polynomdivisjon på vanlig måte. Den fullstendige regningen blir slik:

Siden vi fikk 0 til slutt, gikk divisjonen opp. Dette betyr at ${2x}^2-8$ kan faktoriseres:

$2x^2-8 = \left(2x-4\right)\left(x+2\right) = 2\left(x-2\right)\left(x+2\right)$

Eksempel 2

Oppgave:

Skriv brøken  $\frac{\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}{x}^2-\frac{7}{2}{x}^3+x^5}{x^3-\frac{1}{2}x}$  der $x\ne 0$, enklere ved å bruke polynomdivisjon.

Løsning:

I stedet for å utføre divisjonen med en gang, ser vi først litt nærmere på brøken.Vi ser at alle leddene i teller og nevner inneholder $x$, og vi kan da forkorte alle leddene i teller og nevner med $x$, med betingelse at $x\ne 0.$

Videre ser vi at alle nevnerne i brøkene har verdi $2$, og vi kan derfor multiplisere alle leddene med $2$ for å forkorte brøkene. Resultatet blir at:

$\frac{\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}{x}^2 - \frac{7}{2}{x}^2 + x^5}{x^3 - \frac{1}{2}x}=\frac{3 + x - 7x^2 + 2x^4}{2x^2 - 1}$

Dette er et mye hyggeligere uttrykk å regne med. Vi skriver leddene i telleren i synkende rekkefølge og utfører polynomdivisjonen på vanlig måte:

Nå kommer vi ikke lenger, fordi $x$ har lavere grad enn ${2x}^2-1$. Divisjonen går altså ikke opp. Den opprinnelige brøken kan da skrives slik:

$\frac{\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}{x}^2 - \frac{7}{2}{x}^3 + x^5}{x^3 - \frac{1}{2}x}=\frac{3 + x - 7x^2 + 2x^4}{2x^2 - 1}=x^2-3+\frac{x}{2x^2 - 1}$

Moral: Mange polynomdivisjoner kan forenkles betydelig ved å gjøre noen små endringer før man begynner å dividere. Ha alltid øynene åpne for slike muligheter!