Pytagoras læresetning

Som du kan se i figuren er det en sirkel rundt både grisen og fuglen. Dersom hypotenusen til trekanten er mindre eller lik radiusen til den lilla og den mørke blå sirkelen til sammen, så vil spillet forstå at de to karakterne har kollidert. Det er sånn du får poeng i Angry Birds. Takket være Pytagoras' setning!

I en rettvinklet trekant kalles hver av de to korteste sidekantene for katet. Den lengste siden kalles hypotenus. En vanlig motivasjon for setningen er følgende tegning av den kjente 3-4-5-trekanten:

Vi ser at kvadratet over de to katetene til sammen har samme areal som kvadratet av hypotenusen. Mer presist sier vi at i en rettvinklet trekant er summen av arealene til kvadratene på katetene lik arealet til kvadratet på hypotenusen.

Pytagoras’ setning lyder:

$a^2+b^2=c^2$

Den omvendte setningen til Pytagoras læresetning gjelder også:

Dersom vi har en trekant med sidelengder $a$, $b$ og $c$ som oppfyller kravet $a^2+b^2=c^2$, er dette en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen er motstående til den lengste siden.

Det er viktig å huske at Pytagoras læresetning kun gjelder for rettvinklede trekanter.

Bevis for Pytagoras’ læresetning

Det fins hundrevis av mer eller mindre forskjellige bevis for Pytagoras læresetning. Ideen i det beviset vi tar med her, er å regne ut arealet innefor ett og samme kvadrat på to forskjellige måter.

Vi skal sammenlikne to uttrykk for arealet av de fire (gule) trekantene.

Vi finner først arealet $A$ av de fire trekantene ved å beregne arealet av hele det store kvadratet, som er ${(a+b)}^2$, og trekker fra arealet $c^2$ av det lille (blå) kvadratet.

$A={(a+b)}^2-c^2=a^2+2ab+b^2-c^2$

Arealet av de fire (gule) trekantene er lik

$A=4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot b=2ab$

Men det betyr at

$a^2+2ab+b^2-c^2=2ab$

som gir

$a^2+b^2=c^2$

         
Og det er jo nettopp innholdet i Pytagoras læresetning.

Eksempel 1.

Hvor lang er hypotenusen i trekanten der begge katetene er $2cm$?

For å finne lengden $c$ $cm$ til hypotenusen bruker vi Pytagoras læresetning:

$c^2=a^2+b^2$

 $c^2=4+4=8$ 

Det betyr at lengden til hypotenusen er $c=\sqrt{8}cm\approx 2,8cm$.

Eksempel 2.

Vi så over på en rettvinklet trekant med kateter som er $3cm$ og $4cm$ lange. Kontroller at hypotenusen da ifølge Pytagoras setning er $5cm$ lang.