En kule

Vi tenker oss at ei halvkule ligger oppå en sirkel med samme radius og dekker helt nøyaktig hele sirkelen. Halvkula har et overflateareal som er en god del større enn arealet til sirkelen. Halvkula har faktisk akkurat dobbelt så stor overflate som arealet til sirkelen med samme radius. Det betyr at arealet på ei halvkule med radius $r$ er lik $2\pi r^2$. Og overflaten til hele kula er selvsagt to ganger dette. Vi slår derfor fast:

Ei kule med radius $r$ har et overflateareal

$A=4\pi r^2$

Hva er kulas volum? La oss tenke oss at kula er satt sammen av mange syltynne pyramider, alle med spissen i kulas sentrum og høyden lik radius i kula.

Den samlede grunnflaten i alle pyrami­dene er lik kulas overflate $A=4{\pi r}^2$. Og disse pyramidene har alle samme høyde som kulas radius $r$. Det betyr at kulas volum er

$V=\frac{1}{3}\cdot A\cdot r$

Husk at pyramidens volum er grunnflaten multiplisert med høyden dividert på tre, $V_p=\frac{G\cdot h}{3}$ , hvor $G$ er grunnflaten. Dermed er volumet av kula lik overflaten av kula multiplisert med radiusen dividert på tre.

 $V=\frac{1}{3}\cdot 4\pi r^2\cdot r=\frac{4}{3}\pi r^3$ 

Vi kan oppsummere. Ei kule med radius $r$ har

• overflateareal lik  $A=4\pi r^2$.
• volum lik  $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

Hvordan vi utleder formelen for volum av kuler og kjegler, lærer du senere. Men hvis du vil ta en titt, se i høyrespalten der Halvar viser deg akkurat dette.

Eksempel

På en fabrikk skal de opprette et lager for flytende ammoniakk. Dette skal lagres på store, kuleformede ståltanker, og hver av tankene bør romme minst $10000 {\mathrm{m}}^3$. Spørsmål vi kan stille er mange:
- Hvor stor radius og diameter må disse tankene ha?
- Hvor mange kvadratmeter stålplater som går med på å lage tankene?
- Hvor mye vil tomme tanker veie?
- Hvor mye veier tankene når de er fulle?
- Hvordan må dimensjonene være for at de skal tåle trykket av ammoniakken?

Vi begynner med å se på de ytre dimensjonene:

Av formelen for volumet av ei kule kan vi bestemme radius $r=x$ meter for en tank:

$\frac{4}{3}\pi x^3=10000$ gir $x^3=\frac{3}{4\pi }\cdot 10000$

Vi regner ut og finner at $\frac{3}{4\pi }\approx 0,24$ og dermed kan vi sette $x^3=2400{ \mathrm{m}}^3$. Videre finner vi at $x$, radiusen, blir  $\sqrt[3]{2400}\approx 13,4$.

Bedriftsledelsen bestemmer seg for å bygge ståltanker med radius $14$ meter. Diameteren er da $28m$. En slik ståltank får et volum på

$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {14}^3{ \mathrm{m}}^3\approx 11500 {\mathrm{m}}^3$

Hvor mange kvadratmeter stålplater trengs? Det må legges et påslagg på $8\%$ for svinn ved tilkapping:

Vi ser at tankenes overflateareal blir

$A=4\pi r^2=4\pi {\cdot 14}^2{ \mathrm{m}}^2\approx 2460 {\mathrm{m}}^2$

Når vi tar hensyn til svinnet, ser vi at det trengs $1,08\cdot 2460 {\mathrm{m}}^2\approx 2660 {\mathrm{m}}^2$ plater.

Legg merke til at dersom svinn utgjør $8\%$, ville vi måttet dividere overflatearealet med $0,92$. Husk alltid å være nøye med hva prosentgrunnlaget er.